1.2 Анализ схемы для нахождения токов ветвей с помощью законов Кирхгофа

В данной схеме число ветвей В=6, число узлов у=3, число ветвей с известными токами 1. Следовательно, ветвей с неизвестными токами В=5. В этом случае число независимых уравнений но законам Кирхгофа:

- по первому закону: K₁=y-1=2

- по второму закону: K₂=B-y+1=3

Выбираем произвольно направление токов в ветвях схемы (показано на схеме пунктиром) и вводим обозначение данных токов: J₄₂, I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆. Тогда по первому закону Кирхгофа можно составить следующую систему уравнений:

-для узла 1: I₆ + I₁ - I₂ - I₄=0;

-для узла 2: I₃ + I₂ + J₄₂ + I₅=0;

Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа выбираем контуры (I), (II) и (III), в которые не входит ветвь с источником тока. Задаемся направлением обхода контуров по часовой стрелки. С учетом этого получаем:

для контура (I): I₁R₁+ I₂R₂- I₃R₃= Е₁+ Е₂ - Е₃;

для контура (II): - I₂R₂- I₄R₄+ I₅R₅=- Е₂+ Е₄+ Е₅;

для контура (III): I₆R₆ - I₁R₁= Е₆- Е₁.

Таким образом, полная система уравнений, составленная по законам Кирхгофа, имеет следующий вид:

I₆ + I₁ - I₂ - I₄=0;

I₃ + I₂ + J₄₂ + I₅=0;

I₁R₁+ I₂R₂- I₃R₃= Е₁+ Е₂ - Е₃;

- I₂R₂- I₄R₄+ I₅R₅=- Е₂+ Е₄+ Е₅;

I₆R₆ - I₁R₁= Е₆- Е₁.

3. Расчет цепи методом контурных токов

Согласно методу составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Принимаем, что в каждом независимом контуре протекают свой контурный ток, условное положительное направление которого совпадает с направлением обхода этого контура по часовой стрелке. Для схемы на рисунке 1.2 составляем следующие уравнения:

-для контура I: (R₁+ R₂+ R₃)I₁₁ - R₂I₂₂ - R₁I₃₃ = Е₁ + Е₂ - Е₃;

-для контура II: (R₂+ R₄+ R₅)I₂₂ - R₂I₁₁ - R₅I₄₄= Е₄ + Е₅ - Е₂;

-для контура III: (R₆+ R₁)I₃₃ - R₁I₁₁= Е₆ - Е₁.

В уравнении для контура I учитываются также составляющие R₁I₄₄, которые представляют напряжение, задаваемое контурным током I₄₄=J. После подстановки значений сопротивлений резисторов, значений источников ЭДС и источника тока получим систему контурных уравнений:

160 I₁₁ - 80 I₂₂ -40 I₃₃ =210;

-80 I₁₁ +200 I₂₂ =160;

-40 I₁₁+120 I₃₃=-40Решение осуществляем с помощью определителей. Соответствующие выражения для определения контурных токов имеет вид:

; .

где Δ-главный определитель системы уравнений;

Δ₁, Δ₂, Δ₃-определители вычисляемого тока.

В результате решения системы контурных уравнений получаем:

Подставив значение определителей, получим значение для контурных токов:

Отрицательные значения токов означает, что действительное направление тока является противоположным. Действительное направление контурных токов обозначено на схеме пунктиров.

I₁₁=2.273 A, I₂₂=1.709 A, I₃₃=0.424 A, I₄₄=1 A.

Используя значение контурных токов, определим значения токов в ветвях схемы:

I₁=I₁₁-I₃₃=2,273-0,424=1,849 А;

I₂=I₁₁-I₂₂=2,273-1,709=0,564 А;

I₃=-I₁₁=-2,273 А;

I₄=I₂₂=1,709 А;

I₅=I₂₂- I₄₄=1,709-1=0,709 А;

I₆=I₃₃=0,424 А.

Направления токов показаны стрелками на ветвях схемы.