Элементы геометрии Лобачевского:

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется на аксиому о параллельных прямых Лобачевского.

Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются^[1]. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитиигеометрии, математики и науки вообще.

Общие вопросы аксиоматики:

общепринятая аксиоматика для математического описания теории вероятностей. Первоначальный вариант предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым^[1][2] в 1929 году, окончательная версия — в 1933 году. Аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

Требования к системам аксиом:

Система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не зависит от остальных аксиом, т.е. не может быть доказана как теорема с помощью других аксиом данной системы аксиом.

Независимость системы аксиом.

Полнота системы аксиом.

Непротиворечивость системы аксиом

Неевклидовы геометрии.

Проблема пятого постулата Евклида. Простейшие факты гиперболической геометрии Н.И. Лобачевского, эллиптической геометрии Б. Римана и сферической геометрии.

Проблема пятого постулата Евклида:

Аксио́ма паралле́льности Евкли́да, или пя́тый постула́т — одна из аксиом, лежащих в основанииклассической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида ^[1]:

И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двухпрямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двухпрямых.

Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал»Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. Вклассическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении ихтретьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту жесторону от секущей.