Скорость потока

Мы рассмотрели электрические параметры, скомбинировав уравнения Пуассона и Больцмана и применив приближение Дебая-Хюккеля. Чтобы вычислить осевую скорость , нам нужно рассмотреть модифицированное уравнение Новьера-Стокса, где содержится сила электрического тела. Для свойств постоянной жидкости под ламинарными потоковыми условиями, модифицированное уравнение Новьера-Стокса в х - направлении представлено:

(2.4.2.21)

где – осевая скорость жидкости, – вязкость жидкости, – плотность жидкости, – гравитационное ускорение в х – направление положении у, и p– давление жидкости. Непрерывное уравнение для одноразмерного потока имеет вид:

(2.4.2.22)

Так ка поток полностью развит, скорость y-направлении u_yберётся как ноль и скорость u_x– исключительно функция поперечного направления (y). Последний факт отражён решением непрерывного уравнения, который утверждает:

(2.4.2.23)

Так как скорость в поперечном направлении u_y равна нулю, модифицированное уравнение Новьра-Стокса для у-направления может быть записано как:

(2.4.2.24)

где g_y– гравитационное ускорение в y-направлении. Для горизонтального микроканала изменение в давлении из-за высоты гидростатического давления и выражения электростатической силы тела уравнения (2.24). Так как разрыв микроканала обычно очень маленький и для горизонтального канала, можно утверждать, что жидкостное давление независимо от у и давление это исключительно функция осевого направления. Вследствие этого, модифицированное уравнение Новьера-Стокса для горизонтального канала в x-направлении становится:

(2.4.2.25)

Можно думать как об осевом градиенте давления в микроканале. Так как мы предположили полностью развитый поток, постоянная величина. В нормальном потоке канала это отрицательная величина.

(2.4.2.26)

Используя уравнения (2.1), (2.19) и (2.26) импульсное уравнение как представлено уравнением Новьера-Стокса, уравнение (2.25) становится:

(2.4.2.27)

Уравнение кинетической энергии при условии следующих граничных условий:

при	(2.4.2.28)

и

при	(2.4.2.29)

Граничное условие (уравнение 2.4.2.28) – это утверждение, что в стенке канала (или вернее в плоскости сдвига) скорость раствора электролита равна нулю, т.е. нескользящее условие накладывается. Граничное условие уравнение (2.4.2.29) навязывает потоковую симметрию в y-направление. Это обоснованное предположение, так как электрический потенциал – предполагается симметричным.

Решение уравнения (2.4.2.27) при условии граничных условий, предложенных уравнениями (2.4.2.28) и (2.4.2.29) представлено в виде:

(2.4.2.30)

Уравнение (8.30) даёт изменение осевой скорости по каналу раствора электролита или жидкости несущей свободные заряды. Первый элемент – это скорость жидкости из-за наложенного градиента давления . Его обычно относят к потоку Пуазейля. Скорость благодаря наложенному градиенту давления имеет параболический контур. Для данного градиента давления и вязкости жидкости локальная скорость пропорциональна. Явно поток гораздо больше под влиянием канала шириною 2h. Так как ширина канала становится очень маленькой, давление вызывающее потоки становится непрактичным в связи с тем, что требования накачки становятся непомерно высокими.

Второй элемент уравнения (2.4.2.30) из-за электроосмотического потока как следствие градиента наложенного электрического потенциала . Здесь локальная скорость пропорциональна . Для данных свойств системы локальная скорость прямо пропорциональна градиенту наложенного электрического потенциала. Ширина канала не появляется в пропорциональном выражении . Следовательно, электроосмотические потоки стали очень привлекательны для очень узких каналов. Уравнение (2.4.2.30) указывает, что локальная скорость, благодаря электроосмотическому потоку сильно зависит толщины электрического двойного слоя .

Рисунок (2.4.2.3) показывает изменение безразмерной локальной скорости из-за давления, вызванного потоком. Нормированная локальная скорость из-за давления вызванного потоком можно записать так:

(2.4.2.31)

Нормированная локальная скорость параболическая кривая, когда находится против нормированного поперечного положения y/h, показано на рисунке 2.3.

Рисунок 14 Изменение безразмерной локальной скорости благодаря давлению, вызывающему поток с нормированным поперечным положением в разрывном микроканале

Рисунок 15 Изменение безразмерной локальной скорости благодаря электроосмотическому потоку с нормированным поперечным положением в разрывном микроканале

Рисунок 2.4.2.4 показывает изменение безразмерной локальной скорости благодаря электрическому потоку, записанное для удобства как

(2.4.2.32)

где

(2.4.2.33)

Контур безразмерной электроосмотической скорости в микроканале – это сильная функция безразмерного разрыва канала, представлена как кh. Для кh<5, безразмерная скорость показывает сильную зависимость от поперечного положения y/h. Однако для больших значений кh очертания скорости становятся довольно плоскими (ровными) в центральной области потокового канала. На практике для каналов с h>10 микронов с (1:1) содержанием электролита, таким низким как 10^-6 М, значение кh довольно большое и контур скорости довольно плоский (ровный). В случае h<1 µmсоединена со свободным зарядом содержанием ограниченной жидкости, нужно ожидать получение низкого значения кh.