2. Электроосмотический поток в разрезе заряженного микроканала Электрический потенциал

Чтобы понять введённое давление и электроосмотический поток в пористой среде в капиллярных трубках различного поперечного сечения или вдоль поверхностей с неоднородным распределением поверхностного заряда, необходимо быть способным проанализировать простую геометрию потока в прямом разрезе (промежутке) между двумя параллельными пластинами. Такая потоковая форма относится к микроканалу сечения.

В этом анализе, мы покажем давление и электроосмотический поток в промежутке между двумя параллельными поверхностями, имеющими низкий поверхностный электрический потенциал. Поток будем рассматривать как постоянный и полностью развитый, другими словами, нет временной зависимости и нет конечных эффектов. Анализируем одномерный поток. Рассмотрим микроканал, сформированный двумя параллельными пластинами, т.е. микроканал с размером . Стенки этого канала имеют поверхностный электрический потенциал. Этот потенциал предположительно отрицательный. Следует отметить, что назначение отрицательного знака на потенциал стенки не накладывает ограничения на анализ. Рисунок 2.4.2.1 описывает потоковую геометрию. Концы микроканала подвержены электрическому потенциалу, который порождает единую напряженность, силу электрического поля , где

(2.4.2.1)

– это местный электрический потенциал в микроканале, – осевое направление, – координированная нормаль к осевому направлению, т.е. поперечное направление. В микроканале содержание ионов в случае отрицательно заряженной поверхности положительные ионы или просто катионы преобладают около заряженных стенок микроканала, в связи с этим её называют оболочка Деби. Она порождает нулевую объёмную свободную от заряда плотность в жидкости, смежной с заряженными стенками. Применение внешнего заряженного электрического поля на эту заряженную жидкость приводит к конечной электрической силе тела , действующей на жидкость близко к поверхности микроканала. Эта электрическая сила тела приводит к потоку жидкости через микроканал. Такой электрически вызванный поток обычно относят к электрическому потоку.

Рисунок 12 Электроосмотический и вызванный давлением поток в разрыве микроканала, сформированный двумя параллельными пластинами. Стенки микроканала заряжены отрицательно. Поток чисто электроосмотический, когда есть электрическое поле , действующее между электродами по осевому направлению и P1=P2. Поток под давлением и .

Рисунок 13 Электроосмотический поток в разрыве микроканала, сформированный двумя параллельными пластинами. Детали двухмерной геометрии разрыва микроканала показаны. Стенки микроканала имеют поверхностный потенциал , который устанавливает избыточную концентрацию противоионов около стенок. Затененные области около стенок представляют электрические двойные слои, где существует избыточное содержание противоионов.

Рассмотрим симметричный (z:z) раствор электролита, содержащий в двух резервуарах, связанных микроканалом. Позволим стенкам микроканала иметь поверхностный потенциал . В этом анализе мы не будем различать поверхностный потенциал и зета потенциал поверхности микроканала. Положение электрического потенциала в канале (x,y), данный возникает в связи с совмещением наложенного внешнего электрического потенциала и потенциала из-за поверхностного заряда стенок микроканала. Другими словами, электрический потенциал данного местоположения – это алгебраическая сумма потенциала из-за электрического двойного слоя и потенциала из-за положительного электрического поля. Предполагая, что потенциал из-за электрического двойного слоя независим от осевой позиции в микроканале (который действителен для длинных микроканалов, пренебрегая конечными эффектами), можно записать

(2.4.2.2)

где – электрический потенциал из-за электрического двойного слоя в равновесном состоянии, соответствующий жидкости без движения и при нулевом наложенном внешнем электрическом поле, – величина наложенного потенциала при , – это электрический потенциал, при данном осевом местоположении электрического поля в отсутствии электрического двойного поля (т.е. нулевом поверхностном потенциале), – это сила электрического поля независимая от позиции, – осевое направление и поперечная координата разрыва потока.

Уравнение Пуассона, определяющее электрический потенциал в пределах микроканала в декартовых координатах, можно записать:

(2.4.2.3)

Введя выражение электрического потенциала, данное в уравнение 2.4.2.2 в равнение Пуассона (2.4.2.3), получим:

(2.4.2.4)

Уравнение (2.4) – это результативное уравнение Пуассона для разрывного микроканала. Площадь , свободная от заряда, может быть представлена:

(2.4.2.5)

Теперь предположим, что числовое содержание ионов , - того иона записано распределением Больцмана. Из этого следует, что для (z:z) электролита:

(2.4.2.6)

Здесь – числовое ионическое содержание в нейтральном электролите. Для симметричного электролита можно записать:

И уравнение (2.4.2.6) предусматривает:

(2.4.2.7)

и

(2.4.2.8)

Плотность, свободная от заряда, (2.4.2.5) может быть записана как:

(2.4.2.9)

Применяя выражение Больцмана, уравнение (2.4.2.9) становится:

(2.4.2.10)

или

(2.4.2.11)

В производном уравнении (2.4.2.11) предполагалось, что частичное распределение свободных зарядов (ионов) управляется исключительно распределением электрического потенциала благодаря заряженной стенке, а именно , а не общим совокупным потенциалом . Это предположение сделано в первую очередь для удобства и должно действовать если осевое отклонение электрического потенциала гораздо меньше, чем поперечное отклонение потенциала. Это условие обычно соблюдается, когда длина микроканала гораздо больше, чем разрыв , где L – длина канала.

Комбинируем уравнения (2.4.2.4) и (2.4.2.11) получим:

(2.4.2.12)

Уравнение (2.4.2.12) – это уравнение Пуассона-Больцмана, которое определяет потенциал электрического двойного слоя в микроканале. Его решение было создано с явным предположением о действительности распределения Больцмана в потоковой системе.

Аналогичное, хотя довольно сложное решение уравнения (2.4.2.12) было предложено Burgreen и Nakache (1964) [6]. Чтобы облегчить анализ, мы предположим, что , исходя из этого, можно записать . Такая линеаризация известна как приближение Дебая-Хюккеля. Для и , значение близко к единице. Физически, такое приближение означает, что электрический потенциал незначительно сравним с тепловым потенциалом, т.е. .

Следовательно, для небольших потенциалов уравнение Пуассона-Больцмана становится:

(2.4.2.13)

Определим обратную толщину двойного слоя (или обратную длину Дебая), к

(2.4.2.14)

Уравнение (2.13) становится

(2.4.2.15)

к также относится к параметру Дебая-Хюккеля. Уравнение (2.15) это линейное дифференцированное уравнение при условии следующих граничных условий:

(2.4.2.16-а) (2.4.2.16-б)

Здесь, h – на половине ширине разрыв микроканала. Второе граничное условия неявно подразумевает, что . Другими словами, ограниченные стенки микроканала несут тот же поверхностный потенциал и имеют ту же симметрию, что и канал. Следует отметить, что потенциал в это зета потенциал вместо фактического поверхностного потенциала стенки микроканала . Эта регулировка необходима, чтобы учитывать нескользящее граничное условие для проблемы потоковой жидкости в плоскости сдвига. На этой стадии следует иметь ввиду, что действительный поверхностный потенциал стенки не появляется в теории для электрокинетических потоков. Вместо потенциала в плоскости сдвига зета-потенциал используется в теории. Соответственно положение соответствует расстоянию между осевой канала и плоскости сдвига, не самой стенки канала.

Решение уравнения (2.4.2.15), если граничное условие уравнений (2.4.2.16-а) и (2.4.2.16-b), получается такое:

(2.4.2.17)

Используя уравнение (2.4.2.2) и (2.4.2.17) общий электрический потенциал получается тогда:

(2.4.2.18)

и плотность, свободная от заряда, для низкого поверхностного потенциала:

(2.4.2.19)

С этой точки зрения, уместно обсудить последствия использования приближения Дебая-Хюккеля в последующих теоретических разработках. Линеаризация уравнения Пуассона-Больцмана для симметричного электролита уравнение (2.4.2.12) вовлекает значения с правой стороны, как распределение ряда Тейлора в . Распределение:

Заметим, что уравнение (2.4.2.15) было получено сохранением только первого значения в ряду распределения для . Подразумевается, что линеаризованная форма может рассматриваться с точностью до , поскольку следующее значение в распределении . В последующем анализе будет как минимум два места, где приближение будет иметь значение. Далее мы будем учитывать влияние электрической силы тела на потоковую скорость распределения в микроканале, заряд плоскости будет записан в значениях линеаризованной формы вместо общей формы данной в уравнении (2.4.2.11). В последствии во время перемещения текущей плоскости, используя уравнения Нернста-Планка, мы столкнёмся с выражением в форме:

(2.4.2.20)

Это выражение использует конечное распределение Больцмана. Нужно иметь ввидуна этом этапе, что замена потенциала распределения (уравнение 2.17), полученного из решения линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана, прямое в уравнении (2.4.2.20), будет математически непоследовательным. Это связано с тем, что мы смешиваем результат, который основан в лучшем случае на квадратичном приближении распределении Больцмана с тем результатом, что основан на конечном Боцманском распределении. Вследствие этого, нужно расширить границу в уравнении (.20) в ряду Тейлора, где можно сохранить квадратичное выражение:

Если заменить уравнение (2.4.2.17) в приведенном выше распределении Тейлора, то получится выражение с точностью до и будет математически последовательно. Такая последовательность в общей математической формулировке будет чрезвычайно важна в корректной разработке аналитических моделей для электрического потока. Всё вышесказанное также утверждает, что последующая теоретическая разработка будет чем-то, что обязано использовать линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана.