4.1.1. Постановка задачи анализа процессов функционирования защищенной

инфотелекоммуникационной IP-QoS-системы

в терминах критериев эффективности

Сформулируем задачу анализа процессов функционирования защищенной ИТС с учетом результатов разделов 2.4, 2.5.1, 3.1 и 3.3.

Итак, при заданной топологии ИКС, структуре мультимедийных потоков и заданной системе маршрутов найти значения и , доставляющих максимум функционалу

= (4.1)

, при условиях ,

,

,

, . (4.2)

По полученным значениям и найти значения и , доставляющих максимум функционалу

= (4.3)

, при ограничениях

,

– или

, (4.4)

и все параметры первой задачи найдены и фиксированы [133, 136]. Решив задачи (4.1) и (4.3), получим оптимальные длины речевых пакетов и пакетов данных, а также максимально допустимые загрузки ЛЦТ речевым трафиком и задержки (или квантили) пакетов данных для заданных ограничений и распределения потоков в рамках мультимедийного соединения.

Предположим, что задачи (4.1) и (4.4) решены и определены оптимальные длины пакетов и максимально допустимые значения и .

Для того чтобы осуществить перенос через ИТС заданных объемов речевого трафика с требуемым качеством и заданным распределением потоков в рамках сетевых мультимедийных соединений, необходимо выполнение системы неравенств и . Основное условие защищенного переноса заданного речевого трафика в сети (с учетом результатов разд. 3.3.2. и 3.3.3) принимает вид

. (4.5)

Если на каком-либо ЛЦТ это условие не выполняется, то все речевые потоки заданных объемов не могут быть пропущены с заданным качеством обслуживания через систему.

Номинальная эффективная скорость передачи пакетов данных в ЛЦТ для защищенного переноса трафика данных при =1 и =1 с учетом (3.81)

= ( ) (4.6)

Для пропускания через систему потоков данных заданных объемов должно выполняться условие

. (4.7)

Если на каком-либо ЛЦТ это условие не выполняется, то для всех потоки данных заданных объемов не могут быть пропущены через систему с заданным качеством обслуживания. Пара ( , ) характеризует эффективность передачи смешанного трафика по тракту инфокоммуникационной сети на технологии IP-QoS с заданным качеством обслуживания.

Результаты, полученные в результате решения задач анализа, могут быть востребованы на последующих этапах проектирования сетей указанного класса или планирования связи, либо как шаг итерации в задачах синтеза ИТС, которые будут рассмотрены в разделе 5.

4.1.2. Метод решения задачи анализа неоднородной защищенной

инфотелекоммуникационной IP- QoS-системы

Задачи анализа ИТС (4.1) и (4.3) формулируются в виде многокритериальных оптимизационных задач, при решении которых в качестве переменных оптимизации варьируются коэффициенты загрузки системы разнородным трафиком , т. е. фактически идет поиск варьированием объемами входных многокомпонентных информационных потоков в рамках предоставления инфокоммуникационной услуги связи. Это означает, что при заданной структуре статических маршрутов каждой реализации соответствует некоторые контрольные матрицы при поиске значений и . При этом для каждого значения входа по всему множеству маршрутов и тракта отыскиваются оптимальные значения длин соответствующих протокольных блоков и . Задачи (4.1) и (4.3) решаются одновременно для всей сети с использованием функционалов и , которые максимизируются для всех , имеющих ненулевые потоки. Оптимизация общих функционалов и проводится поэтапно с учетом их условной зависимости. Сначала оптимизируется в рамках предоставления инфокоммуникационной услуги связи функционал использования ЛЦТ трафиком класса , затем вычисляется максимум функционала использования ЛЦТ трафиком данных при условии, что параметры функционала оптимальны.

Сформулированная задача анализа ИТС по сути является субзадачей в терминах ССЗ, т. е., задачей распределения многопродуктовых приоритетных потоков (РПП) и имеет два прикладных аспекта: расчет удельной загрузки ЛЦТ и оценку ВВХ ИТС ( ). Оптимизация сети одновременно по потокам и пропускной способности есть задача ВПС.

В основе задачи РПП лежит задача оптимальной маршрутизации, которая состоит в следующем [186]. Пусть (пакет/с) – пропущенный трафик в направлении . Для каждой пары необходимо распределить входные потоки по путям таким образом, чтобы загрузка ЛЦТ в сети оптимизировал целевую функцию при заданных ограничениях на ВВХ. Доказано [186], что оптимальная маршрутизация достигается только тогда, когда поток каждой корреспондирующей пары направляется по путям, имеющим минимальную первопроизводную длину (МППД-путь). Это равносильно тому, что набор путевых потоков является строго подоптимальным, если только какая-либо положительная часть потока направлена по пути, не являющимся МППД-путем. При этом подоптимальная маршрутизация может быть улучшена переброской на МППД-путь части потока с других путей для каждой корреспондирующей пары , т. е. улучшение целевой функции осуществляется путем малых изменений в путевых потоках . При этом должно быть: а) допустимым и б) быть направлением спуска [186] . Это приводит к широкому классу итеративных алгоритмов для решения задачи оптимальной маршрутизации, например, метод девиации потоков (метод Франка–Вульфа). Метод девиации потока уменьшает в пределе значение стоимостной функции до минимума. Основной итерацией этих алгоритмов является + , где величина шага выбирается таким образом, чтобы целевая функция улучшалась и вектор + был допустимым. В [85] задача РПП решается с помощью метода штрафных функций.

В качестве алгоритма РПП может быть использован алгоритм максимального числа линий [237], суть которого заключается в предварительной разметке маршрутов , последующем наложении на них потоков и расчете ВВХ. Поиск маршрутов осуществляется в метрике числа транзитов. Между каждой парой отыскивается несколько альтернативных кратчайших путей , которые для различных приоритетов могут совпадать. Наложение потоков производится только на один из них, наименее загруженный. Потоки старших приоритетов распределяются в первую очередь. Алгоритм РПП прост, эффективен в вычислительном плане. Недостаток — снижение точности в области больших загрузок ЛЦТ. Алгоритмы поиска могут быть взяты, например, из работы [237]. В [85] алгоритм ДП модифицируется на случай классов входящих заявок и приводится оригинальный алгоритм РПП на основе критерия эффективности вида , где – среднесетевая задержка, – суммарный трафик -го приоритета, – величина, обратная ценности информации -го приоритета либо прямо пропорциональная штрафу в единицу времени ожидания. Полученный план РПП соответствует детерминированной процедуре маршрутизации, допускающей альтернативы. Алгоритм РПП, как и ДП, для поиска может использовать метод Флойда, а для одномерной минимизации, например, метод Фибоначчи [237].

Сформулированные задачи (4.1) и (4.3) относятся к классу задач нелинейного программирования (НП) с ограничениями типа неравенств, которые решаются численными методами с использованием полученных аналитических моделей системы. При этом число ограничений может иметь порядок , а число варьируемых переменных в каждой задаче - порядок +1.

В общей постановке задача нелинейного программирования формулируется следующим образом [238, 239]:

минимизировать , ( 4.8)

при ограничениях ,

,

где функции , и могут быть как линейными, так и нелинейными.

Основная идея нелинейного программирования с ограничениями – свести задачу с ограничениями к последовательности задач без ограничений (задач безусловной оптимизации), для решения которых существует широкий набор вычислительных методов. Методы, ориентированные на решение задач безусловной оптимизации, можно разделить на три больших класса в соответствии с типом информации используемой при его реализации: 1) методы прямого поиска, основанные на вычислении только значений целевых функций ; 2) градиентные методы, в которых используется точные значения первых производных ; 3) методы второго порядка, в которых наряду с первыми производными используются также вторые производные функции . Наиболее сложную и трудоемкую часть построения вычислительного процесса в большинстве методов составляют вычисления значений целевой функции и ее первых двух частных производных, а также условий допустимости [238, 239]. В ряде приложений либо невозможно, либо весьма затруднительно найти аналитические выражения для производных целевой функции. Многомерные методы, реализующие процедуру поиска оптимума на основе вычисления функции или методы прямого поиска, с общих позиций можно разделить на эвристические (метод поиска по симплексу или -метод, когда в процессе поиска последовательно оперируют регулярными симплексами в пространстве управляемых переменных (регулярный симплекс в -мерном пространстве представляет собой многогранник, образованный +1 равностоящими друг от друга точками-вершинами); метод Хука-Дживса, когда используется фиксированное множество (координатных) направлений, выбираемых рекурсивным способом) и теоретические (метод Пауэлла, который основан на теоретических результатах и ориентирован на решение задач с квадратичными целевыми функциями).

В данной работе задача анализа ИТС решается методом скользящего допуска или «нежесткого допуска», рекомендованным [239] и имеющим ряд важных преимуществ перед другими методами оптимизации с ограничениями. Определение безусловного минимума здесь осуществляется методом деформируемого многогранника, предложенным Нелдером и Мидом [238, 239], который представляет собой модифицированную процедуру поиска по симплексу или -методу. Указанный метод можно заменить любым другим методом определения безусловного минимума, если при этом гарантируется надлежащая степень эффективности вычислительных процедур. Получаемая при этом последовательность векторов будет просто представлять собой последовательность точек в , а не вершины специально построенного многогранника.

Стратегия оптимизационного поиска в методе скользящего допуска позволяет задачу (4.8) заменить более простой (но имеющей то же самое решение) задачей минимизации

(4.9)

при ограничении ,где — значение критерия скользящего допуска на -м этапе поиска, а представляет собой положительно определенный функционал над множеством всех функций, задающих ограничения (как в виде ра­венств, так и в виде неравенств) в задаче (4.8). Функционал является мерой степени нарушения ограничений рассматриваемой задачи.

В качестве критерия допуска выбирается положительно определенная убывающая функция координат точек, являющихся вер­шинами деформируемого многогранника в , т. е. . Функция служит критерием допуска для нарушения ограничений решаемой задачи на протяжении всего процесса оптимизационного поиска и, кроме того, является критерием, позволяющим определить момент прекращения процедуры оптимизации. Варианты конкретного выбора многочисленны. Рассмотрим функцию вида [239]

= ,

(4.10)

где – величина, характеризующая размер исходного многогранника; – число ограничений в виде равенств (при известных нижних и верхних границах вектора для оценки наиболее рационального значения можно воспользоваться следующей формулой [239]: = , где – разность между верхним и нижним предельными значениями, которые может принимать переменная ); – вектор, задающий положение -й вершины многогранника в ; –число степеней свободы целевой функции в задаче (4.8); – вектор, задающий положение вершины, которая соответствует «центру тяжести» рассматриваемого многогранника при ; – индекс, указывающий число полностью законченных этапов вычислительного процесса; – значение на этапе оптимизационного поиска. Обозначим второй член в фигурных скобках (4.10) через , т. е. положим

= = , (4.11)

где – координаты -й вершины многогранника в . Величина представляет собой среднее расстояние от точек до центра тяжести выбранного многогранника в , которая зависит от размеров последнего. Таким образом, ведет себя как положительно определенная убы­вающая функция и по мере приближения к оптимальной точке как и , так и устремляются к нулю, т. е. образуется последовательность … 0. В пределе имеем .

Рассмотрим функционал над множеством ограни­чений задачи (4.9):

=+ , (4.12)

где — оператор Хевисайда, обладающий следующим свойством: = 0 при и =1 при . Таким образом, функционал представляет собой взятый с положительным знаком квадратный корень из суммы квадратов функций, задающих полную совокупность нарушенных ограничений задачи (4.8). При минимизации используются все ( ) вершин многогранника, где – суммарное число переменных (как независимых, так зависимых) задачи (4.8), тогда как при минимизации , только лишь вершин. Чтобы установить четкое различие между допустимыми, почти допустимыми и недопустимыми точками, рассмотрим значение на -м этапе оптимизационного поиска, т. е. значение в точке . Говорят, что вектор является: 1) допустимым, если = 0; 2) почти допустимым, если 0 ; 3) недопустимым, если . Таким образом, область квазидопустимости определяется соотно­шением . При этом существенным является следующее обстоятельство: если значение мало, это означает, что точка расположена относительно недалеко от гра­ницы допустимой области. При большом значении точка лежит на значительном расстоянии от границы допустимой области. Отметим, что значе­ние на -м этапе оптимизационного поиска находится толь­ко после того, как определяется, что точка является либо до­пустимой, либо почти допустимой.

Общая схема работы алгоритма выглядит следующим об­разом: по мере развития оптимизационного поиска уменьшается значение , что приводит к сужению области квазидопусти­мости, и процедура минимизации отделяется от этапов, служащих для выполнения ограничения, указанного в (4.9). При заданном в точке имеет место один из следующих вариантов:

• . В этом случае точка является либо допустимой, либо почти допустимой. Соответствующее перемещение можно считать разрешенным;

• . В этом случае точка классифицируется как недопустимая. Необходимо отыскать вместо точки другую точку, которая либо лежала бы ближе к границе допустимой области, либо принадлежала допустимой области. Один из способов перемещения точки в сторону допустимой области состоит в уменьшении значения в соответствии с (4.12) до тех пор, пока не будет выполнено условие .

Область квазидопустимости постепенно уменьшается по мере того, как оптимизационный поиск приближает нас к решению задачи (4.9). В пределе, когда все вершины деформируемого многогранника в стягиваются в одну точку , = 0 и условию могут удовлетворять лишь допустимые точки , т. е. точки . Другими словами, если =0, то, поскольку не может принимать отрицательных значений, единственно возможным значением является =0, что эквивалентно требованию, удовлетворения всех ограничивающих условий в задаче (4.8). Сходимость алгоритма доказана в [239].

Одно из преимуществ стратегии скользящего допуска, нашед­шее отражение в структуре задачи (4.9), заключается в том, что степень нарушения ограничений, содержащихся в задаче (4.8), по мере приближения к искомому решению этой задачи постепенно уменьшается. Поскольку на первых этапах поиска ограничения задачи (как в виде равенств, так и в виде неравенств) должны удов­летворяться весьма приблизительно и лишь при поиске непосредственно в окрестности искомого решения задачи (4.12) требуется большая точность, полный объем вычислений в процессе оптими­зации по сравнению с другими методами существенно сокращается. Другим преимуществом стратегии скользящего допуска является то, что оказывается удобным использовать в качестве критерия окончания процесса поиска. Во всех возникающих на практике ситуациях оптимизационный поиск достаточно продол­жать до тех пор, пока не станет меньше некоторого произвольным образом выбранного положительного числа , т. е. при выполнении условия < . На заключитель­ных этапах поиска является также мерой среднего расстояния от вершин деформируемого многогранника до его центра тяжести . Если < , то значительное число вершин содержится внутри гипосферы радиуса . (Если бы последний из рассматриваемых многогранников был правильным, внутрь гиперсферы радиуса попали бы все вершины . В силу же того, что многогранник является неправильным, некоторые из вершин выходят за пределы упомянутой гиперсферы.) Преждевременное прекращение поиска в окрестности нелокального оптимума не имеет места, так как деформируемый многогранник не вырождается в точку, если существует такой вектор , для которого и . Следовательно, к моменту прекращения оптимизацион­ного поиска выполняется следующее условие: . Поскольку условие удовлетворяется при любом перемеще­нии в пространстве решений, если < , то условие , очевидно, также выполняется, и имеем . Из этого соотношения следует, что при прекращении поиска суммарное значение функций, ассоциированных с нарушенными ограниче­ниями, не превышает . Само собой разумеется, что и значение каждой отдельно взятой функции, ассоциированной с тем или иным из нарушенных ограничений, также не может превысить .

4.1.3. Анализ однородных ИТС-АТМ (Постановка задачи анализа ИТС-АТМ в терминах критериев эффективности. Методы решения задач анализа однородных пакетных и гибридных АТМ-CIF-систем. Алгоритмы анализа. Алгоритм сравнительного анализа пакетных и гибридных АТМ-CIF-систем).