Формулы

Как мы видели, геометрическое и табличное представления булевых функций подходят лишь для функций с небольшим числом аргументов. Формулы позволяют удобно представлять многие функции от большего числа аргументов и оперировать различными представлениями одной и той же функции.

Пусть   - некоторое (конечное или бесконечное) множество булевых функций. Зафиксируем некоторое счетное множество переменных V={X₁, X₂, ...} . Определим по индукции множество формул над   с переменными из V. Одновременно будем определять числовую характеристику   формулы   называемую ее глубиной, и множество ее подформул.

Определение 3.2.

1. Базис индукции. Каждая переменная   и каждая константа     является формулой глубины 0, т.е. dep(X_i)=dep(c)=0 . Множество ее подформул состоит из нее самой.

2. Шаг индукции. Пусть   и A₁, ... , A_m - формулы, и max {dep(A_i) | i = 1,..., m} = k . Тогда выражение   является формулой, ее глубина   равна k+1, а множество подформул   включает саму формулу   и все подформулы формул A₁, ..., A_m.

Каждой формуле   сопоставим булеву функцию, которую эта формула задает, используя индукцию по глубине формулы.

Базис индукции. Пусть  . Тогда   или    . В первом случае   задает функцию  , во втором - функцию, тождественно равную константе c.

Шаг индукции. Пусть   - произвольная формула глубины  . Тогда  , где     и A₁, ..., A_m - формулы, для которых max_{1 <= i <= m}{dep(A_i)}=k . Предположим (по индукции), что этим формулам уже сопоставлены функции g₁(X₁,..., X_n), ... , g_m(X₁,..., X_n) . Тогда формула   задает функцию  .

Далее мы будем рассматривать формулы над множеством элементарных функций  . Все эти функции, кроме констант, называются логическими связками или логическими операциями. При этом для 2-местных функций из этого списка будем использовать инфиксную запись, в которой имя логической связки помещается между 1-ым и 2-ым аргументами. Тогда определение формулы над   имеет следующий вид.

Определение 3.3.

• Базис индукции. 0, 1 и каждая переменная   являются формулами глубины 0.

• Шаг индукции. Пусть   и   - формулы,  .

Тогда выражения   и   являются формулами. При этом  , а  .

В соответствии с этим определением выражения   и     являются формулами. Глубина  равна 3, а глубина   равна 4. Выражения же  ,   и (X₁ + X₂ + X₃) формулами не являются (почему?).

Для определения функции, задаваемой формулой, удобно использовать таблицу, строки которой сответствуют наборам значений переменных, а в столбце под знаком каждой логической связки стоят значения функции, задаваемой соответствующейподформулой. 

17. Символ Шеффера и стрелка Пирса, их связь с другими логическими операциями.

Стрелка Пирса (логическое «ИЛИ-НЕ») высказываний a и b - это новое высказывание, которое будет истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Знаком стрелки Пирса является ↓

Значения функции стрелки Пирса представлены в таблице:

Логическим элементом операции стрелки Пирса является:

a	b	a↓b
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Стре́лка Пи́рса — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880—1881 г.г.

Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, эквивалентна операции ИЛИ-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:

Таким образом, высказывание «X ↓ Y» означает «ни X, ни Y». От перемены мест операндов результат операции не изменяется.

X	Y	X ↓ Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Штрих Ше́ффера — бинарнаялогическая операция,булева функциянад двумя переменными. Введена в рассмотрениеГенри Шефферомв 1913 г. (вотдельных источниках именуется как Пунктир Чулкова) Штрих Шеффера, обычно обозначаемый |, эквивалентен операции И-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:

X	Y	X|Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Таким образом, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, т.е. не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется. Штрих Шеффера, как и стрелка Пирса, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть используя только штрих Шеффера можно построить остальные операции. Например,

 —отрицание

 — дизъюнкция

 — конъюнкция

 — константа 1

В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента. С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих логические выражения схем и тем самым снижает их надёжность. Примером может являться промышленная 155 серия.

Элемент 2И-НЕ (2-in NAND), реализующий штрих Шеффера обозначается следующим образом (по стандартам ANSI):

В европейских стандартах принято другое обозначение:

17.