14. Свойства логических операций
Логические операции
Простейшим и наиболее широкоприменяемым примером такойалгебраической системы являетсямножество B, состоящее всего из двухэлементов:
B = { Ложь, Истина }.
Как правило, в математическихвыражениях Ложь отождествляется слогическим нулём, а Истина — слогической единицей, а операцииотрицания (НЕ), конъюнкции (И) идизъюнкции (ИЛИ) определяются впривычном нам понимании. Легкопоказать, что на данном множестве Bможно задать четыре унарные ишестнадцать бинарных отношений, представленных в таблице справа, однако все они могут быть полученычерез суперпозицию трёх выбранныхопераций.
Опираясь на этот математическийинструментарий, логика высказыванийизучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительныеоперации, такие как эквивалентность 
(«тогда и только тогда, когда»), импликация 
(«следовательно»), сложение по модулю два 
(«исключающее или»), штрихШеффера 
, стрелка Пирса 
и другие.
Логика высказываний послужилаосновным математическиминструментом при созданиикомпьютеров. Она легко преобразуетсяв битовую логику: истинностьвысказывания обозначается однимбитом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогдаоперация 
приобретает смыслвычитания из единицы; 
— немодульного сложения;
&
— умножения;
— равенства;
— вбуквальном смысле сложения помодулю 2 (исключающее Или — XOR);
— непревосходства суммы над 1 (то есть A
B =
(A + B) <= 1).
Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных длялогики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику(когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др. --
Свойства логических операций
Коммутативность: x
y = y
x, 
{&, 
}.Идемпотентность: x x = x, {&, }.
Ассоциативность: (x y) z = x (y z), {&,
}.Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю двасоответственно:
x
(y
z)
= (x
y)
(x
z),x (y z) = (x y) (x z),
x (y z) = (x y) (x z).
Законы де Мо́ргана:
(x y) = ( x) ( y),
(x y) = ( x) ( y).
Законы поглощения:
x (x y) = x,
x (x y) = x.
Другие (1):
x ( x) = x 0 = x x = 0.
x ( x) = x 1 = x
x = x
x = 1.x x = x x = x 1 = x 0 = x 0 = x.
x 1 = x 0 = x 0 = x x = x x = x.
.
Другие (2):
= 
= 
.
= 
= 
= 
.
= 
= 
.
Другие (3) (Дополнение законов де Мо́ргана):
= 
= 
.
= 
= 
.
Формулы алгебры логики. Равносильные формулы.
Приведем определение формулы алгебры логики.
1) каждая ʼʼэлементарнаяʼʼ булева функция – формула;
2)
если неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ выражение N есть
формула, то 
тоже
формула;
3)
если некоторые выражения M и N есть
формулы, то выражения 
, 
, 
, 
тоже
формулы;
4) других формул, кроме построенных по п.п.1), 2), 3), нет.
Формулы алгебры логики мы будет обозначать большими N, M, … К примеру, следующие выражения являются формулами алгебры логики:
, 
.
С целью упрощения формул, условимся, что операция конъюнкции ʼʼсильнееʼʼ операций дизъюнкции, импликации и эквивалентности, ᴛ.ᴇ. если нет скобок, то вначале выполняется операция конъюнкции.
Формула алгебры логики определяет некоторую булеву функцию, значение которой совпадает со значениями данной формулы для всех наборов значений переменных.
Две формулы N и M называются равносильными, в случае если они определяют одну и ту же булеву функцию (запись N = M будет означать, что формулы N и M равносильны).
Пример
1 Формулы 
и 
равносильны,
ᴛ.ᴇ. 
.
Действительно, построим таблицы истинности для данных формул.
Из
таблиц видно, что формулы
и 
определяют
одну и ту же булеву функцию и, следовательно,
являются равносильными.
Очевидно, что отношение равносильности формул алгебры логики является:
1) рефлексивным, ᴛ.ᴇ. N = N для любой формулы N;
2) симметричным, ᴛ.ᴇ. если N = M, то M = N для любых формул N и M;
3) транзитивным, ᴛ.ᴇ. если N = M и M = J, то N = J для любых формул N,M,J.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, отношение равносильности является отношением эквивалентности.
В случае если какую-нибудь формулу N1, являющуюся частью формулы N заменить формулой N2, равносильной N1, то полученная формула окажется равносильной N. Это свойство лежит в базе преобразования формул с целью их упрощения или приведения к определенной форме.
При преобразовании формул алгебры логики используются свойства логических операций, которые будут рассмотрены ниже.
2.2 Законы алгебры логики.
Приведем перечень важнейших равносильностей (законов) алгебры логики. Эти равносильности выражают свойства логических операций.
1) 
–
закон тождества;
2) 
–
закон противоречия;
3) 
–
закон исключительного третьего;
4) 
–
закон двойного отрицания;
5) 
, 
–
законы идемпотентности;
6) 
, 
–
законы коммутативности;
7) 
, 
–
законы дистрибутивности;
8) 
, 
–
законы ассоциативности;
9)
, 
–
законы де Моргана;
10) 
, 
11) 
, 
12) 
, 
–
законы поглощения;
13) 
, 
–
законы склеивания.
Перечисленные законы алгебры логики доказываются с помощью таблиц истинности. В качестве примера докажем справедливость закона .
Из
таблиц видно, что формулы 
и 
определяют
одну и ту же булеву функцию. Следовательно,
они равносильны.
Логические операции – конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность, вообще говоря, не являются независимыми друг от друга. В самом деле,
, 
;
, 
.
Первые две равносильности легко доказываются с помощью таблиц истинности. Две последние равносильности докажем с помощью законов де
Моргана и двойного отрицания:
; 
.
Итак, справедливы следующие утверждения:
1) импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание;
2) конъюнкцию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание;
3) дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и отрицание;
4) все операции посредством равносильных выражений можно заменить двумя: конъюнкцией и отрицанием или дизъюнкцией и отрицанием.