3. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА. ТЕОРЕМА О БАЗИСЕ

Определение. Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.

Максимальность числа линейно независимых элементов, входящих в выбранную систему, означает, что включение в эту систему любого элемента превращает ее в систему линейно зависимых элементов.

Размерность пространства Х обозначается символом dim X (от английского слова dimension – размер). Если в линейном пространстве можно отыскать сколь угодно много линейно независимых элементов, то такое пространство называется бесконечномерным, и такой факт записывается символом: dim X = ∞. Например, пространство всех многочленов – бесконечномерно, так как многочлены 1, х, х2, …, хп линейно независимы при любом натуральном п. Действительно, равенство с0 + с1х + с2х2 +…+ спхп = 0 справедливо при всех х только тогда, когда все коэффициенты равны нулю (если же какой-нибудь из коэффициентов ск ≠ 0, то написанное равенство означает, что многочлен в левой части имеет в качестве корня любое число, что невозможно, так как многочлен не может иметь больше корней, чем его степень). Это и означает, что элементы 1, х, х2, …, хп линейно независимы при любом п. В дальнейшем, если не оговорено противное, считаем все рассматриваемые пространства конечномерными.

Определение. Система элементов е1, е2, …, еп линейного пространства называется полной, если любой элемент х линейного пространства являет-

ся линейной комбинацией ее элементов.

Отметим, что в случае полноты системы е1, е2, …, еп набор векторов x,

е1, е2, …, еп линейно зависим.

Определение. Базисом в линейном пространстве Х называется любой полный и линейно независимый набор его элементов.

Теорема 1 (о базисе).

Справедливы следующие четыре утверждения:

1.В любом (конечномерном) линейном пространстве существует базис.

2.Любая максимальная линейно независимая система элементов пространства является базисом (максимальная в том смысле, что если к ней присоединить еще какой-нибудь элемент, то она перестанет быть линейно независимой).

3.Любая минимальная полная система элементов пространства является базисом (минимальная в том смысле, что если из нее удалить какойнибудь элемент, то она перестанет быть полной).

4.Все базисы данного линейного пространства содержат одинаковое число элементов, равное размерности этого пространства.

14

Доказательство.

Утверждение 1 является следствием утверждения 2, так как мы можем зафиксировать произвольный ненулевой элемент е1 и присоединять к нему и уже выбранным другим элементам ек любые другие элементы, линейно независимые с выбранными, до тех пор, пока не получим максимальную линейно независимую систему элементов.

Докажем утверждение 2. Пусть е1, е2,…, еп – максимальная линейно независимая система элементов. Чтобы установить, что данная система – базис, требуется доказать лишь то, что она полная. Возьмем произвольный элемент х пространства. Так как система элементов х, е1, е2,…, еп линейно зависима, то найдутся такие коэффициенты λк, не все равные нулю, что выполняется равенство:

При этом λ0 ≠ 0, так как при λ0 = 0 последнее равенство означало бы линейную зависимость элементов е1, е2,…, еп, что противоречит предположению. Таким образом, любой элемент х пространства линейно зависим с е1, е2,…, еп, а это и значит, что рассматриваемая система полна, и, следовательно, является базисом.

Докажем утверждение 3. Пусть е1, е2,…, еп – минимальная полная система элементов пространства. Докажем, что она линейно независима и, следовательно, является базисом. Предположим противное, т. е. что эта система линейно зависима. Тогда один из ее элементов (для определенности еп) является линейной комбинацией остальных:

еп = λ1е1 + λ2е2 +…+ λп–1еп–1.

Ввиду полноты рассматриваемой системы любой элемент х является линейной комбинацией элементов этой системы:

х= х1е1 + х2е2 +…+ хпеп = х1е1 + х2е2 +…+ хп-1еп-1 +

+хп(λ1е1 + λ2е2 +…+ λп–1еп–1) = (х1 + λ1хп)е1 + (х2 + λ2хп)е2 +…+

+(хп–1 + λп–1хп)еп–1.

Последнее равенство означает, что любой элемент х пространства линейно зависим с набором элементов е1, е2,…, еп–1, т. е. система элементов х, е1, е2,.., еп–1 полная, что противоречит минимальности полной системы е1, е2,…, еп. Значит, система е1, е2,…, еп линейно независима и, следовательно, является базисом.

Докажем утверждение 4. Пусть в линейном пространстве Х обнаружилось два базиса: е1, е2,…, еп и е1΄, е2΄,…, ет΄ с разным числом элементов.

15

Пусть при этом (для определенности) m > n. В силу полноты базиса (по лемме о линейной зависимости линейных комбинаций) каждый из элементов е1΄, е2΄,…, ет΄ является линейной комбинацией элементов базиса е1, е2,…, еп, а так как этих линейных комбинаций по предположению больше, чем n, то элементы базиса е1΄, е2΄,…, ет΄ линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Аналогично опровергается и предположение, что m < n. Таким образом, остается единственная возможность, что m = n. Последнее утверждение теоремы доказано.

Определение. Разложением элемента х по базису е1, е2,…, еп называ-

ется представление его в виде линейной комбинации элементов базиса:

Отметим, что в этом разложении элемента (вектора) для коэффициентов (чисел) использован латинский алфавит.

Теорема 2. Любой элемент х пространства может быть разложен по базису, и притом единственным способом.

Доказательство. То, что любой элемент пространства можно представить в виде (3.2), было доказано выше. Докажем единственность такого разложения. Пусть, кроме разложения (3.2), имеется еще разложение:

Вычтем из равенства (3.2) равенство (3.3). Получим: (х1 – х1΄)е1 +

+ (х2 – х2΄)е2 +…+ (хп – хп΄)еп = 0 . Так как по определению базиса элементы базиса линейно независимы, то из полученного равенства следует, что коэффициенты при е1, е2,…, еп в этом равенстве все равны нулю, т. е. что выполняются равенства: х1 = х1΄, х2 = х2΄, …, хп = хп΄, и единственность разложения по базису доказана.

Определение. Координатами элемента х в данном базисе называются коэффициенты в его разложении по базису (т. е. коэффициенты в равенстве (3.2)).

Тот факт, что координаты элемента х в данном базисе е1, е2,…, еп рав-

Таким образом, равенства (3.2) и (3.4) равносильны.

Теорема 3 (о линейных операциях над элементами в данном базисе). Пусть в данном базисе даны два вектора х = (х1, х2,…, хп), z = (z1, z2,…, zп).

Тогда

х+ z = (х1 + z1, х2 + z2,…, хп + zn),

16

х – z = (х1 – z1, х2 – z2,…, хп – zn), λx = (λх1, λх2,…, λхп).

Замечание. При сложении элементов их координаты в данном базисе складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на то же число.

Доказательство.

Докажем, например, первое из этих равенств (остальные доказываются аналогично):

x + z = (х1, х2,…, хп) + (z1, z2,…, zп) =

=х1е1 + х2е2 +…+ хпеп + z1е1 + z2е2 +…+ zпеп =

=(х1 + z1)e1 + (х2 + z2)e2 +…+ (хп + zn)en = (х1 + z1, х2 + z2,…, хп + zn),

что и требовалось доказать.

Замечание. Очевидно, что координаты элементов, входящих в состав базиса, таковы е1 = (1, 0,…, 0), е2 = (0, 1,…, 0),…, еп = (0, 0,…, 1).

Действительно, е1 = 1∙е1 +… + 0∙е2 +…+ 0∙еп = (1, 0,…, 0); аналогично доказываются и остальные равенства.

Соглашение. Координаты элемента (вектора) х записывать в столбец как элемент пространства Rn или Cn . В этой ситуации упорядоченный набор координат вектора будем обозначать прописной буквой и (3.4) заменится на соотношение:

Теорема 4 (о преобразовании координат при переходе к новому бази-

су). Пусть в линейном пространстве S выбраны два базиса: е1, е2,…, еп – который будем называть «старым», е1΄, е2΄,…, еп΄ – который будем называть «новым»; и пусть – известны координаты новых базисных элементов в старом базисе, т. е. известны все коэффициенты в равенствах:

где С – матрица, столбцами которой служат координаты новых базисных элементов в старом базисе, т. е.

17

при этом матрица С – невырожденная, и, следовательно, имеет некоторую обратную С΄, а именно C C 1.

Доказательство.

Используя связь (3.5) между «старыми» и «новыми» базисными векторами, выпишем разложения для вектора:

х = х1е1 + х2е2 +…+ хпеп

и, следовательно:

х= х1΄е1΄+ х2΄е2΄ +…+ хп΄еп΄ = х1΄(с11е1 + с21е2 +…+ сп1еп) + х2΄(с12е1 +

+с22е2 +…+ сп2еп) +…+ хп΄(с1пе1 + с2пе2 +…+ сппепп) = (с11х1΄ + с12х2΄ +

+…+ с1пхп΄)е1 + (с21х1΄ + с22х2΄ + …+ с2пхп΄)е2 + … + (сп1х1΄ +

В силу единственности разложения элемента по базису, из (3.2) и (3.7) следует, что выполняются п равенств:

хк = ск1х1΄ + ск2х2΄ + …+ скпхп΄ (к =1, 2, …, п),

а эти равенства и означают, что справедливо первое из матричных равенств (3.6). Второе матричное равенство в (3.6) получаем, аналогично поменяв ролями старый и новый базисы местами.

Осталось доказать, что матрица С – невырожденная и справедливо равенство C 1 = C . Подставляя второе из равенств (3.6) в первое, получим, что для любого числового столбца Х справедливо равенство X CC X , т. е.

где символом В обозначена матрица СС΄, а ее элементы – bij. Подставляя в (3.8) вместо Х базисный элемент е1, получим (по правилу перемножения матриц):

Это равенство означает, что у матрицы В первый столбец такой же, как и у единичной матрицы. Аналогично, подставляя в (3.8) вместо Х ба-

18

зисные элементы е2,…, еп, убедимся, что и остальные столбцы матрицы В такие же, как у единичной матрицы Е, т. е. что В = Е, или, что CC E .

Выше описанное значит, что С – невырожденная матрица и что C C 1. Теорема доказана полностью.

Определение. Матрица С называется матрицей перехода от старого базиса к новому, а матрица C C 1 называется матрицей перехода от нового базиса к старому.

Пример 1. В линейном пространстве векторов, расположенных на прямой линии, любые два вектора линейно зависимы (так как пропорциональны). Легко проверить, что на плоскости два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. В трехмерном пространстве три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны, четыре и большее число векторов всегда линейно зависимы. Поэтому на прямой линии базисом может служить любой ненулевой вектор, на плоскости базисом являются любые 2 неколлинеарные векторы, в пространстве базисом являются любые 3 некомпланарных вектора. Обычно в качестве базиса в пространстве выбираются 3 взаимно перпендикулярных орта со стандартным обозначением i, j, k (такой базис называется декартовым, или ортонормальным). Разложение любого вектора a по этому базису имеет вид a = ax i + ay j + az k, поэтому координаты вектора в таком базисе имеют вид a = (ax, ay, az). Легко проверить, что эти координаты (т. е. координаты в декартовом базисе) имеют и геометрический смысл, а именно, они являются проекциями данного вектора на координатные оси.

Пример 2. В пространстве M(m, n) матриц размером т × п в качестве базиса можно взять матрицы того же размера eij, у которых на пересечении строки с номером i и столбца с номером j стоит 1, а все остальные элементы равны 0. То, что эти матрицы образуют полную систему, очевидно, так как любая матрица А = (аij) разлагается по этой системе:

i 1 j 1

а линейная независимость матриц eij следует из того, что по определению равенства матриц линейная комбинация (3.9) равна нулевой матрице тогда и только тогда, когда все коэффициенты аij в (3.9) равны нулю, т. е. все элементы матрицы А равны 0. Отсюда следует, что dim Mmn = mn. Например, размерность множества M23 матриц из 2 строк и 3 столбцов равна 6. Матрицы перехода от базиса в M23 (состоящего, естественно, из 6 элементов) к другому базису в этом пространстве также имеют размер 6 × 6.

19

Пространства М(1,n) и М(m,1) называются соответственно пространством строк длины п и пространством столбцов высоты т. Оба эти простран-

ства называются также пространствами соответственно п-мерных и т-мер- ных векторов. Очевидно, что dim М(1,n) = n, а dim М(m,1) = m.

Пример 3. В пространстве полиномов степени не выше п можно взять в качестве базиса полиномы е0(х) = 1, е1(х) = х, е2(х) = х2,…, еп(х) = хп. То, что эти полиномы линейно независимы, было отмечено выше, а полнота

этого набора многочленов следует из того, что любой многочлен степени не выше п можно разложить по этой системе следующим образом:

Р(х) = с0 + с1 х + с2х2 +…+ спхп = с0е0 + с1 е1 + с2е2 +…+ спеп = (с0, с1, с2,…, сп).

Таким образом, это пространство имеет размерность п + 1. В этом базисе координатами многочлена являются его коэффициенты. В качестве другого базиса можно взять любой набор из п + 1 линейно независимых многочленов, например, любые ненулевые многочлены разных степеней от 0 до п.

Пример 4. Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье

(ДПФ) – есть преобразование координат в комплексном линейном пространстве CN, состоящем из N-мерных векторов Y = (y0, y1, …, yN –1), при

Замечание. Нахождению координат данного элемента в данном базисе данного линейного пространства посвящен разбор 1-го типового задания в разд. 9 («Решение типовых примеров»).

20