Лапласа. По аналогии с этими уравнениями для решения разностных уравнений с заданными начальными условиями применяют дискретное преобразование Лапласа, либо (наиболее часто) так называемое z-преобразование, причем естественно, что оба эти преобразования применяются для последовательностей. Далее, мы в основном будем рассматривать z- преобразование.

4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА

Вообще в математике имеются 3 важных преобразования последовательностей. Это дискретное преобразование Лапласа, z-преобразование и производящая функция. Мы рассмотрим все три преобразования, но главное внимание уделим z-преобразованию. В дальнейшем (если не оговорено

противное) мы будем рассматривать последовательности {an} при п = 0, 1,

2… . При отрицательных п мы считаем ап = 0 (по аналогии с функциямиоригиналами в теории преобразований Лапласа). Также по этой аналогии

мы считаем, что последовательность ап возрастает не быстрее некоторой геометрической последовательности. Это значит, что существуют числа М

> 0 и q0 > 0 такие, что

В этом случае дискретное преобразование Лапласа определяется формулой:

n 0

Ясно, что имеет смысл вводить это преобразование для данной последовательности, когда F(p) может быть найдена как аналитическая функция.

Положим еp = z. После этой замены мы и получаем z-преобразование последовательности ап.

Определение. z-преобразованием последовательности ап называется

функция F (z) an .

n 0 zn

Соответствие между последовательностью ап и функцией F(z) мы будем обозначать {an} F (z) .

Как правило, z-преобразование применяется для вещественных последовательностей, но, в принципе, это определение пригодно и для комплексных чисел.

Рассмотрим теперь свойства z-преобразования:

1) z-преобразование заведомо определено в области |z| > q0.

11

Действительно, F(z) определена при тех z, при которых ряд для нее сходится. Тогда из неравенства (4.1) получаем

Таким образом, ряд для F(z), который является геометрической прогрессией, сходится абсолютно (а значит, и просто сходится) в области |z| >

q0 (когда знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы) и наше свойство верно.

2) Линейность. Если {an} ↔ F(z), {bn}↔G(z), α, β – некоторые числа, то

αan + βbn↔αf(z) + βg(z).

Это свойство очевидно, так как

anzn bn f (z) g(z) .

n 0

3) z-преобразование сдвига. Сдвигом последовательности ап мы назы-

ваем новую последовательность {an + 1}, которая имеет вид {a1, a2, …}.

Тогда:

{an + 1} ↔ z F(z) – za0 {an + 2} ↔ z2F(z) – z2a0 – za1

(все последовательности начинаются с п = 0, а при отрицательных индексах равны 0).

Докажем сначала первую из этих формул. Пусть {an + 1}↔F1(z). Тогда

Вторая и последующие формулы доказываются индукцией с помощью применения первой формулы к полученной предыдущей (то есть мы применяем индукционный переход). В самом деле, получим вторую формулу

из формулы (4.3). Пусть F2(z) ↔ {an + 2}. Тогда получаем по формуле (4.4)

F2(z) = zf1(z) – za1 = z(zf(z) – za0) – za1 = z2f(z) – z2a0 – za1.

Аналогично получаются последующие формулы из (4.3).

12

Заметим, что на практике удобно применять (а значит, и помнить) именно только формулу (4.4), последовательно применяя индукционный переход.

4) z-преобразование обратного сдвига. Обратным сдвигом последова-

тельности ап называется новая последовательность (0, а0, а1, а2….) = {an–

1}; аналогично {an–k} = (0, …0, a0, a1, …) (в начале последовательности стоят ровно k (k > 0) нулей). Тогда {an-1}↔ F(z)/z ; {an-k}↔F(z)/zk. Дейст-

вительно, первая из этих формул (а значит, и все последующие) очевидна:

5) z-преобразование почленного произведения данной последователь-

ности и некоторой геометрической прогрессии. Пусть {an }↔F(z) и q – не-

которое число (вещественное или комплексное). Тогда {anqn} ↔ F(z/q).

Это свойство также сразу же вытекает из определения z-преобра- зования:

6) z-преобразование свертки двух последовательностей соответствует (обычному) произведению z-преобразований этих последовательностей.

13

Таким образом, свойство доказано.

7) Связь z-преобразования с коэффициентами Маклорена для произво-

дящей функцией. Пусть {an}↔F (z) an . Напомним, что этот ряд схо-

n 0 zn

цией для последовательности (ап), а написанный выше ряд является ее ря-

дом Маклорена. Этот ряд сходится абсолютно в некоторой окрестности точки t = 0. Это значит, что функция f1(t) является бесконечно дифференцируемой в точке t = 0 и коэффициенты ее ряда Маклорена, равные соответствующим членам данной последовательности, могут быть вы-

числены по формуле an f1(n) (0) (в случае, когда по заданному преобра- n!

зованию надо восстановить последовательность ап). Вообще, производящая функция для данной последовательности применяется во многих областях математики (в частности, в теории вероятности). Однако в разностных уравнениях обычно применяется z-преобразование.

14

5.ТАБЛИЦА КОНКРЕТНЫХ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Вэтом разделе мы выведем основные формулы z-преобразований для конкретных последовательностей.

Вначале напомним некоторые известные разложения степенных рядов. Основным степенным рядом для нас является геометрическая прогрес-

ды можно дифференцировать (и интегрировать) почленно внутри области его сходимости, то, дифференцируя геометрическую прогрессию, получим следующие степенные ряды

Заметим что первые несколько членов этих рядов равны нулю и реальное разложение начинается с п = т.

Тогда, используя эти разложения, получим z-преобразования следующих последовательностей:

Используя свойство 5 для полученных преобразований (то есть заменяя в них z на z/q), мы получим следующие формулы

15

Заметим, что с помощью линейных комбинаций можно из этих фор-

мул получать z-преобразования для последовательностей вида (пm) и (птqn). Напримeр,

16

Аналогичным образом выводятся z-преобразования для последова-

тельностей {sin(nβ)} и {qnsin(nβ)}. Эти z-преобразования приведены в таблице, содержащей все основные применяющиеся на практике z- преобразования.

Напомним, что в математическом анализе рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух полиномов. Рациональная дробь называется правильной, если степень ее числителя строго меньше степени ее знаменателя.

Из приведенной ниже таблицы мы видим, что все простейшие рациональные дроби, умноженные на z, являются z-преобразованиями приведенных в этой таблице последовательностей (по крайней мере в области комплексных чисел). Так как правильную рациональную дробь можно (во всяком случае приближенно с любой степенью точности) разложить на простейшие, то можно сделать главный вывод:

Любая правильная (несократимая) рациональная дробь (с переменной z) умноженная на z является z-преобразованием некоторой линейной комбинации последовательностей, приведенныхв данной таблице.

Если правильная рациональная дробь F(z) не равнa нулю или бесконечности при z = 0, то ее можно умножить и разделить на z и искать ориги-

нал от F1(z) = F(z) · z. Из свойств преобразований следует, что нужный нам

оригинал будет отличаться от найденного для F1(z) сдвигом всех членов найденной последовательности вправо и добавлением нулевого члена, равного нулю. Если же знаменатель несократимой правильной дроби имеет

корень z = 0 с кратностью k то домножить и разделить ее надо на zk + 1 и ис-

кать оригинал для F1(z) = F(z)/zk + 1. Оригинал же данной функции будет таков: первые k членов будут равны нулю, а далее будет располагаться

оригинал для F1(z) с заменой п на п + k. Подробнее все это мы рассмотрим на конкретных примерах в следующем разделе.

Таблица соответствий последовательностей и их z-преобразований

17