3. Моделирование как способ прогнозирования

1. Общи понятия

Моделирование подразумевает построение поисковых и нормативных моделей по имеющимся прямым и косвенным данным. Моделирование как метод исследования обладает большой универсальностью и эффективностью.

Наиболее эффективным для исследования организационно-экономических процессов являются математические модели. Это перевод на язык математики производственных операций и экономических явлений.

В общем виде под моделированием понимается условное изображение основных черт характерного реально существующего объекта в виде математических символов, технико-экономических показателей, графиков или макетов.

Однако сложность производственных процессов зачастую вынуждает учитывать в организационно-экономических моделях не все факторы, а лишь те которые отражают существенные черты моделируемого объекта.

В практике моделирования организационно-экономических систем имеют значения все возможные виды моделей: сценарии, имитации, графы, подборка показателей, графические изображения и так далее.

Так, например, при выполнении дипломного проекта была разработана математическая модель производственно-хозяйственной деятельности специализированного строительно-монтажного поезда, выполняющего работы по строительству и электрификации железных дорог, переустройству станций ^х). Модель представляет систему уравнений:

¹С₁₁^А+ С₁₂^В+ С₁₃^С=Q

С₂₁^А+ С₂₂^В+ С₂₃^С=Т

С₃₁^А+ С₃₂^В+ С₃₃^С=М

А ≥ 0 , В ≥ 0 , С ≥ 0 , М ≤ М_max, Т ≤ Т_max,

где: А, В, С – объем работ в натуральных показателях соответственно укладке пути, стрелочных переводов, электрификации;

Q, T, M – производственная программа, трудозатраты, механизация процессов.

Любая математическая модель, отображающая производственный процесс должна отвечать следующим требованиям:

– базой при исследовании процесса должна служить научная теория;

– модель должна отображать реальную структуру объекта;

– обеспечивать единство масштаба и размерностей величин;

– учитывать динамику исходных процессов параметров;

– учитывать граничные условия деятельности модели.

Классификация математических моделей и общие принципы моделирования изложены в [1– 4].

В строительстве нет двух одинаковых объектов. Даже при одинаковой серии жилого дома имеет место свои организационные или геологические особенности. В процессе производства одной и той же работы не бывает совершенно одинаковых дней. На производственный процесс постоянно оказывают влияния случайные факторы (климатические факторы, сбои в доставке материалов, социальные фактор и др.). Таким образом, при моделировании строительных процессов необходимо учитывать вероятностный характер исходной и полученной информации, то есть разрабатывать стохастические (вероятностные) модели анализа или прогноза. Под стохастической моделью следует понимать такие модели, в которых по имеющимся значениям одной величины определяют другие как случайные величины.

Зависимость Y = f(X) представляет собой детерминированную модель. Если же учесть случайные отклонения и написать зависимость в виде Y = f (X) + Z, где Z – некоторая случайная величина, то получится стохастическая модель.

Зачастую для построения моделей сложных систем вначале приходится исследовать отдельные элементы системы, а затем на основе полученной информации и ее стохастической обработки строить саму модель.

Широкое распространение в практике моделирования нашел метод статических испытаний (Монте-Карло). В основе метода статических испытаний лежит большое число наблюдений, которое позволяет сделать правильные выводы об их средних характеристиках [4].

Рассмотрим использование метода статических испытаний (Монте-Карло) на примере прогнозирования продолжительности строительства с использованием вероятностной сетевой модели.

2. Построение стохастической сетевой модели

1. Формулировка задачи

Моделирование и расчеты необходимо выполнять в следующем порядке:

1. Формулировка поставленной задачи.

2. Построение детерминированной сетевой модели.

3. Исследование элементов сетевой модели.

4. Стохастическое описание модели. Определение продолжительности работ.

5. Анализ полученных результатов.

С заданной вероятностью надежности вывода необходимо прогнозировать продолжительность строительства промышленного объекта. Критическую зону продолжительности строительства необходимо определить с вероятностью 0,866. Продолжительность работ i - j представлена вариационным рядом с объемом совокупности N. Для расчета в качестве примера взят сетевой график, структура которого показана на рис.4.

2. Определение продолжительностей работ сетевого графика

Итак, рассмотрим на конкретном примере моделирование продолжительности работ, заданной вариационным рядом.

Пусть продолжительность работ 1– 2 представленная рядом:

12	8	4	16	20	6	27	10	13	27	17	21	7	10	28	13
18	22	24	18	31	10	7	33	26	15	19	10	11	11	35	11
15	19	11	27	11	15	8	36	8	11	10	15	46	10	22	39
21	9

Таким образом, в результате 50 наблюдений установлено, что продолжительность работы изменялась от 4 до 45 единиц.

Для удобства вычислений статистических характеристик необходимо заданный ряд ранжировать, то есть произвести группировку по интервалам и определить частоты. Величину интервала можно задать произвольно. Однако число интервалов при этом не должно быть меньше семи. В данном примере принято семь интервалов.

Величина первых пяти интервалов равна четырем единицам, шестого – семи единицам, а седьмого – двадцати одной единице. Тогда получим частотный ряд (табл.1).

Таблица 1

Формирование частотного ряда

Границы интервалов, ti	0– 4	4– 8	8– 12	12– 16	16– 20	20– 27	27– 48
Середина интервала,	2	6	10	14	18	23,5	37,5
Частота попадания в интервал, ni	0	4	16	7	6	8	9

По данным таблицы 1 построена гистограмма (рис. 5). В первом приближении можно задаться гипотезой, что продолжительность работы 1– 2 распределена по логнормальному закону. Это двухпараметрическое распределение [5], плотностью которого выражается формулой:

, (24)

где α и β – параметры, которые подлежат определению.

Рис. 4. Сетевой график

n

9 9

0 4 8 12 16 20 27 48 t

Рис. 5. Гистограмма распределения продолжительности работы 1– 2

После нахождения параметров распределения определяются теоретические частоты, а по величине их расхождения с фактическими дается оценка пригодности принятого закона распределения для математической формализации фактической информации.

Расчетным путем необходимо получить:

, (25)

. (26)

Средняя . (27)

Медиана . (28)

Среднее квадратичное отклонение , (29)

где: N – количество членов ряда;

M = 0,4343 – коэффициент перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

Все расчеты необходимо выполнить в табличной форме, таблица 2.

Таблица 2

Вычисление параметров логнормальной кривой

Середины интервалов,	lg	lg2	Фактические частоты, ni		lg ni		lg2 ni
1	2	3	4		5		6
2 6 10 14 18 23,5 37,5	0,30102 0,77815 1 1,14613 1,25527 1,37107 1,57483	0,09062 0,60552 1 1,31361 1,15709 1,87983 2,47757	0 4 16 7 6 8 9		0 3,11260 16 8,02290 7,53163 10,9685 14,1663		0 2,42208 16 9,19526 9,45425 15,0386 22,2982
Сумма:				50		59,8019		74,4084

_{Вычисление теоретических частот (табл.3) выполняются с использованием функции Лапласа – Ф (Z), значения которых приведены в приложении 5.}

_{Таблица 3}

_{Вычисление теоретических частот при логнормальном распределении}

Границы интервалов, ti		Ф (Zi)	Ф (Zi)- Ф (Zi-1)		Теоретические частоты, ni’=N[Ф (Zi)- Ф (Zi-1)]		Фактические частоты, ni
1	2	3	4		5		6
0 4 8 12 16 20 27 48 ∞	-∞ -2,47389 -1,22012 -0,48671 0,03365 0,43728 0,98011 2,02083 ∞	-0,5 -0,49332 -0,38877 -0,18676 0,01340 0,16904 0,33648 0,47836 0,5	0,00668 0,10455 0,20201 0,20016 0,15564 0,16744 0,14188 0,02164		0,34 5,23 10,10 10,00 7,73 8,37 7,09 1,09		0 4 16 7 6 8 9 0
Сумма:				50,00		50

_{Проверка правильности расчета является совпадение суммы теоретических и фактических частот.}

_{Далее необходимо проверить по критерию Пирсона, не отвергается ли гипотеза о логнормальном распределение продолжительности работы 1–2.}

, (29)

_{В приложении 6 приведены критические значения критерия согласия Пирсона Х2.}

_{Так как Х2 = 6,96 < Х2r,5% = 9,5 , то нет основания отвергать гипотезу о форме кривой распределения работы 1–2.}

_{Далее необходимо по теоретическим частотам ni’ построить кривую распределения (рис.6).}

q(t)

9 9

0 4 8 12 16 20 27 48 t

Рис. 6. Гистограмма распределения продолжительности работы 1– 2 и выравнивающая ее логнормальная кривая

_{Если условие по критерию Пирсона не выполняется необходимо задать новую гипотезу о форме кривой распределения и расчеты повторить. Аналогичные вычисления необходимо выполнить для всех работ сетевого графика.}

_{Итак, продолжительность работ 1–2 , как случайной величины, при логнормальном распределение может быть определена по выражению:}

, (30)

, (31)

где σ_lg – среднее квадратичное отклонение;

_{Zi – случайное число, принадлежащее равномерной и случайной последовательности чисел с пределами 0 и 1 (приложение 7);}

- сумма двенадцати случайных чисел в интервале от 0 до 1.

Нормальное распределение, как и логнормальное, двухпараметрическое (рис.7). Плотность распределения выражается формулой:

, (32)

Вычисление для выравнивания по нормальной кривой необходимо выполнять в табличной форме (таблицы 4, 5).

Таблица 4

Вычисление нормальных моментов

Середина интервалов,			Фактические частоты, ni		ni		ni
1	2		3		4		5
Суммы:		∑ ni = N		∑ti ni		∑ ti2 ni

Первый момент (33)

Второй момент (34)

Центральный момент (35)

(36)

(37)

На основании вычисленных моментов и с используя функции Лапласа – Ф(Z) (приложение 5) можно определить теоретические частоты (табл.5).

Таблица 5

Вычисление теоретических частот при нормальном распределение

Границы интервалов, ti		Ф (Zi)	Ф (Zi)- Ф (Zi-1)	Теоретические частоты, ni’=N[Ф (Zi)- Ф (Zi-1)]	Фактические частоты, ni
1	2	3	4	5	6
Сумма:				N	N

q(t)

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 t

Аналогично по критерию Пирсона проводится проверка гипотезы о нормальном распределении.

Искомая случайная продолжительность работы может быть определена по формуле:

(38)

где Z – случайное число (приложение 8).

Показательное распределение однопараметрическое (рис.8). Плотность распределения выражается функцией

(39)

Объем вычислений, по сравнению с двумя предшествующими распределениями, несколько меньше.

(40)

(41)

где t₀ – величина смещения границы первого интервала от начала первого интервала от начала ординат.

q(t)

3

0 4 8 12 16 20 24 28 32 42 t

Выравнивание по показательному закону необходимо выполнить в табличной форме (табл.6).

Таблица 6

Вычисление теоретических частот при показательном распределение

Границы интервалов, ti’= ti - t0	-Мλti’			Теоретические частоты ni=AN		Фактические частоты, ni
1	2	3	4	5		6
Сумма:					N		N

По теории Пирсона проверяется правильность гипотезы о показательном законе распределения.

Случайная продолжительность работы при этом распределении определяется следующим образом:

(42)

где случайное число Z определяется по приложению 7.

Таким образом необходимо определить законы распределения и их основные статистические характеристики для всех работ обозначенных на сетевом графике (см. рис.4). Результаты расчетов необходимо свести в таблицу 7. , например, расчетными может быть установлено, что продолжительность работ, отображенных на сетевом графике, подчиняются следующим закономерностям, представленным в табл. 7.

Таблица 7

Один из вариантов основных статистических характеристик

работ сетевого графика

Наименование работы	Закон распределения	Х2		Основные статистические характеристики
		Расч.	Табл.	μ	σ	tМ	σlg
1-2 1-3 1-4 2-5 2-6 3-6 4-7 5-8 6-8 6-9 8-10 9-10	Логнормальный Нормальный Нормальный Нормальный Логнормальный Показательный Показательный Нормальный Нормальный Показательный Логнормальный Логнормальный	6,96 7,3 9,4 5,2 6,4 7,2 5,8 7,8 6,1 7,5 5,9 6,9	9,5 9,8 12,1 9,7 8,9 8,4 10,2 8,8 7,0 7,9 7,4 9,9	18,29 12,4 9,1 13,4 21,1 14,6 16,4 7,9 8,3 13,5 10,8 15,2	10,93 5,4 4,9 7,2 8,9 - - 4,2 5,0 - 6,2 6,4	15,7 - - - 17,9 - - - - - 7,4 -	0,75 - - - 0,74 - - - - - 0,53 -

3. Стохастическое описание модели. Определение продолжительности строительства

Итак, установлены законы распределения продолжительности работ. Далее необходимо определить продолжительность каждой работы, как случайной величины с учетом закона ее распределения и после этого определить на сетевом графике критический путь, то есть продолжительность строительства (таблица 8).

Таблица 8

Вычисление продолжительности работ

Наименование работ	Расчетное выражение	Результаты расчетов	Примечание
1-2 1-3 1-4 2-5 3-6 4-7 … 9-10	t1-2=15,7е-0,136 В=0,75*(5,8-6) t1-3=12,4+5,4*0,5531 t1-4=9,1+4,9-0,9077 …………………….. ……………………. t3-6=0,405*14,6 …………………….. t9-10=15,2+6,4*0,0971	13,3 -0,136 15,4 4,6 … … 5,9 … 15,8	Z = 0,6669
Критические пути T = 84,7

Расчеты, выполненные в таблице 8 необходимо повторить 20 – 25 раз, каждый раз при этом необходимо менять случайные числа. Таким образом. После расчетов будет определенно 20 – 25 продолжительностей критических путей Т₁ = 84,7 , Т₂ = 91,3 … Т₁₀ = 70,4 … Т₂₅ = 88,1.

Далее с заданной вероятностью надежности вывода необходимо определить величину критического пути, то есть оптимистическую и пессимистическую продолжительность строительства.

где σ – среднее квадратичное отклонение;

λ – нормирующий множитель (приложение 10).

При вероятности 0,866 λ=1,5

Итак, с вероятностью 86,6% можно утверждать, что продолжительность строительства не превысит 108,5 единиц времени. При благоприятных условиях работы могут быть закончены за 56,3 единиц времени.

Перечисленные прогнозы в практике управления строительством, как правило, в «чистом» виде не используются, так как они взаимосвязаны. Обычно прогноз в зависимости от цели разрабатывается в рамках определенной группы прогнозов. Зачастую один и тот же вопрос или проблема исследуется с использования математических и интуитивных способов прогнозирования, что позволяет повысить достоверность полученной информации.

Опыт показывает, что ни один из названных способов, взятый сам по себе не может обеспечить значительную степень достоверности, дальности прогноза. Зато в определенных сочетаниях они оказываются в высокой степени эффективными [6].