Мгновенная частота сигнала

(1.65)

Поэтому

(1.66)

1.19 Частотная модуляция (чм)

При ЧМ полезная информация и частота связаны соотношением

(1.67)

Тогда математическую модель ЧМ – сигнала можно записать в виде

Девиация частоты вверх:

Девиация частоты вниз:

Если – гладкая функция, то между осциллограммами ФМ- и ЧМ- сигналов различий нет. Разница в том, что фазовый сдвиг между ФМ -сигналом и немодулированным сигналом пропорционален , а фазовый сдвиг между ЧМ - сигналом и немодулированным сигналом пропорционален .

При однотональной модуляции мгновенная частота

где – девиация частоты.

Фаза сигнала

Упростим модель ЧМ – сигнала, положив ,

введем индекс модуляции по формуле: и запишем мгновенные значения сигнала

Аналитические формы записи ЧМ - и ФМ - сигналов совпадают. Различие между ЧМ и ФМ проявляется при изменении параметров модулирующего низкочастотного сигнала.

При ЧМ ширина спектра пропорциональна амплитуде НЧ – колебаний и не зависит от его частоты _Ω; при ФМ индекс модуляции пропорционален амплитуде НЧ – колебаний, а ширина спектра растет с увеличением Ω.

2 Сигналы с ограниченным спектром

Прямое и обратное преобразования Фурье, связывающие временное и спектральное представления сигналов, позволяет анализировать и синтезировать широкий класс информационных сигналов по их математическим моделям в диапазоне частот . Реальные сигналы занимают конкретный ограниченный диапазон частот, в котором реализована структура сигналов, и соответствующие устройства. Поэтому особого внимания заслуживают наиболее часто встречающиеся сигналы с ограниченным спектром.

2.1 Построение математических моделей сигналов с ограниченным спектром

Идеальный низкочастотный сигнал

Простейшей моделью может служить т.н. «идеальный низкочастотный сигнал, спектр которого в пределах симметричной относительно нуля полосы частот (рис.2.27), и выражается формульной записью

(2.1)

Рис. 2.27 Спектр идеального низкочастотного сигнала

Здесь - важная характеристика частотного диапазона – верхняя или граничная частота спектра.

Обратное преобразование Фурье позволяет найти мгновенные значения сигнала с таким спектром (рис.2.28)

(2.2)

П одобную кривую можно получить на выходе фильтра нижних частот, если подать на него δ – импульс (сигнал с равномерным спектром).

Рис.2.28 Идеальный низкочастотный сигнал

Идеальный полосовой сигнал

Спектр идеального полосового сигнала, представленного на рис.2.29, можно записать в виде

(2.3)

Рис.2.29 Спектр идеального полосового сигнала

С помощью обратного преобразования Фурье легко построить математическую модель сигнала

(2.4)

З десь - осциллирующий множитель, - медленная функция времени, являющаяся огибающей высокочастотного сигнала.

Вид функции изображен на рис.2.30.

Рис.2.30

Идеальные низкочастотный и полосовой сигналы используются для построения математического аппарата в исследованиях информационных потоков.

Ортогональные низкочастотные сигналы

Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала , обладающих одинаковым спектром, но сдвинутых между собой на некоторый отрезок времени (рис.2.31).

Рис.2.31

Их спектральные плотности связаны соотношением: , при этом .

С использованием формулы Рэлея скалярное произведение сигналов принимает вид

(2.5)

и обращается в ноль при условии Следовательно, идеальные низкочастотные сигналы ортогональны, если они сдвинутые между собой на время

(2.6)

Минимальный сдвиг по времени для ортогональных идеальных низкочастотных сигналов: