4. Дельта-функция

(фильтрующее свойство δ-функции).

(1.40)

т.е δ-импульс имеет равномерный спектр на всех частотах.

Полученный результат можно интерпретировать следующим образом: в момент возникновения импульса все элементарные гармонические составляющие, которые отвечают различным частотам, когерентны, т.к., в соответствии с (1.40), спектральная плотность вещественна. Амплитуды этих составляющих при увеличении частоты не убывают. Таким образом, при наблюдается бесконечно большое значение сигнала. Во все другие моменты времени векторная сумма составляющих равна нулю.

1.12 Частные случаи и следствия спектральных представлений

1⁰. Чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр.

Ширина спектра – частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторой заданной величины. Обычно от до

2⁰. В случае прямоугольного импульса верхнюю граничную частоту найдем из условия

определяющего положение первого нуля на оси частот, или

(1.41)

3⁰. Для экспоненциального импульса граничная частота определяется из соотношения

.

Т.к.  , то

(1.42)

4⁰. Таким образом, соотношение неопределенности

(1.43)

определяет требование к полосе пропускания устройств, если известна длительность сигнала.

1.13 Некоторые свойства спектральных плотностей и сигналов

1⁰. Сигнал сдвинут во времени

Если , то

(1.44)

т.е., амплитуда гармоник не зависит от положения сигнала на оси времени. Информация заключена в фазовом угле спектральной плотности.

2⁰. Если , то – четная, а – нечетная функция.

3⁰. Сжатие и растяжение сигнала во времени

(1.45)

Спектральная плотность «зеркальной копии» сигнала

(1.46)

4⁰. Дифференцирование сигнала.

(1.47)

5⁰. Интегрирование сигнала.

(1.48)

6⁰. Пусть тогда

при этом – свертка в частотной области.

Если то

– свертка во временной области.

70. Формула Релея:

Для доказательства формулы Рэлея рассмотрим два сигнала Выразим их с помощью обратного преобразования Фурье

Найдем скалярное произведение и проведем очевидные преобразования

- что и требовалось доказать.

(1.49)

1.14 Спектральные плотности сигналов, не являющихся абсолютно интегрируемыми

1⁰. Сигнал - постоянный во времени.

Используем обратное преобразование Фуры, полагая, что существует. Тогда

Из фильтрующего свойства δ-функции следует, что . Обозначим соответствие сигнала и его спектра в виде

(1.50)

Т.о. постоянный по времени сигнал имеет спектральную компоненту только на нулевой частоте.

2⁰. Комплексный экспоненциальный сигнал с известной частотой .

Если спектральная плотность существует, то должно выполняться соотношени:

(1.51)

Подберём спектральную плотность так, чтобы (1.51) стало тождеством. Это возможно при .

(1.52)

Свойства спектральной функции комплексного экспоненциального сигнала:

– спектральная функция имеет δ –особенность;

– спектр несимметричен относительно , т.е. сосредоточен либо в области , либо в области .

3⁰. Гармонические колебания.

	(1.53)
	(1.54)

4⁰. Произвольный периодический сигнал можно представить рядом Фурье

Спектральная функция такого сигнала является суммой функций (рис. 1.21):

(1.55)

На рис. 1.21 изображена спектральная функция суммы гармонических сигналов

Рис. 1.21 Спектральная функция суммы гармонических сигналов, представляемых рядом (А.55)

5⁰. Функция включения Хевисайда

Исключим точку t=0 и определим соотношением

(1.56)

( – спектральная плотность экспоненциального импульса).

(1.56) справедливо везде, кроме .

Для определения спектральной плотности в нуле представим: и воспользуемся

тогда

Следовательно,

(1.57)

6⁰. Радиоимпульс.

Предполагается, что спектральная функция видеоимпульса известна:

- спектр огибающей.

Спектр гармонического сигнала

Спектр есть свёртка спектров двух сигналов, т.е.

	(1.58)

Спектральные плотности видеоимпульса и радиоимпульса показаны на рис. 1.22.

Рис. 1.22 Спектральные плотности видеоимпульса и радиоимпульса

Пример: Прямоугольный радиоимпульс (рис. 1.23).

Рис. 1.23 Радиоимпульс , спектральные плотности видеоимпульса и радиоимпульса