1.9 Спектральная плотность сигнала. Преобразование Фурье

Рис. 1.16 Импульсная последовательность

Одиночный импульсный сигнал получим путем устремления Т → ∞ (рис. 1.16). Тогда гармоники nω₁ и (n + 1)ω₁ можно считать близкими друг к другу, а nω₁ → ω (становится текущим значением частоты). Амплитуды в этом случае являются малыми величинами, т.к.

в ряде (1.33).

Учитывая, что коэффициенты Фурье образуют комплексно-сопряженные пары и , отображающие гармоническое колебание, то справедливо соотношение

с комплексной амплитудой . Здесь – действительная амплитуда.

В малом интервале частот ∆ω содержится 

пар спектральных компонент. Частоты этих компонент отличаются сколь угодно мало, и можно складывать компоненты так, как если бы они имели одну и ту же частоту и характеризовались одинаковыми комплексными амплитудами

Тогда комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных компонент из ∆ω, можно записать в виде

Величину

(1.37)

отражающую амплитудное содержание сигнала ) в полосе частот, называют его спектральной плотностью.

Выражение (1.37) известно еще как преобразование Фурье сигнала , в котором спектральная плотность является масштабным множителем, связывающим малую длину интервала ∆ω и отвечающую ему комплексную амплитуду гармонического сигнала на центральной частоте

1.10 Обратное преобразование Фурье

В обратной задаче, когда требуется найти сигнал по его спектральной плотности, непериодический сигнал вновь получим из периодической последовательности, пользуясь рядом Фурье и устремляя Т → ∞

Представив 1/Т в виде

и полагая малым расстояние между соседними гармониками, получим интегральную формулу обратного преобразования Фурье

(1.38)

Т.о. сигнал и его спектральная плотность взаимно-однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Следствия

1. Часто s(t) является более сложной функцией, чем S(ω), и анализ математической модели облегчается при пользовании S(ω).

2. С помощью спектрального представления можно анализировать прохождение сигналов через широкий класс электрических цепей, радиотехнических средств и систем.

Условие существования спектральной плотности сигнала

Необходимым условием является абсолютная интегрируемость, т.е.

(1.39)

что резко сужает класс допустимых сигналов, например, на бесконечной оси не удовлетворяет условию (1.39). Поэтому для вычисления спектральных плотностей неинтегрируемых сигналов разработаны методы с использованием обобщенных функций.

Рассмотрим примеры вычисления спектральных плотностей интегрируемых и неинтегрируемых функций.

1.11 Спектральные плотности абсолютно интегрируемых функций

Вычислим спектральные плотности сигналов, часто встречаемых в медико-биологических исследованиях.

1. Прямоугольный видеоимпульс, заданный амплитудой U и длительностью (рис. 1.17).

Рис. 1.17 Прямоугольный видеоимпульс и его спектральная плотность

Спектральная плотность такого сигнала вычисляется по формуле

На нулевой частоте спектральная плотность , т.е. представляет собой площадь исходного импульса.

2. Экспоненциальный видеоимпульс, определяемый выражением (рис. 1.18).

Рис. 1.18 Экспоненциальный сигнал (видеоимпульс)

Длительность импульса определяется из условия:

, откуда

Аналогичные вычисления приводят к результату

Спектральная плотность

Амплитудная и фазовая характеристики представлены на рис. 1.19.

Рис. 1.19 Амплитудная и фазовая характеристики спектральной плотности видеоимпульса.

3. Гауссов видеоимпульс, выражаемый формулой (рис. 1.20)

Рис. 1.20 Гауссова форма видеосигнала

Значение τ определяется из условия:

	(1.39)

– гауссова спектральная функция частоты.