1.6 Обобщенный ряд Фурье

Пусть задан произвольный ортонормированный базис . Разложим произвольный сигнал в ряд

(1.20)

– обобщенный ряд Фурье, в котором коэффициенты

(1.21)

являются проекциями сигнала на базисные сигналы .

Выражение для коэффициентов ряда определяются из (1.20) умножением обеих частей равенства на е_k и интегрированием в пределах [t₁,t₂].

Представление сигнала обобщенным рядом Фурье позволяет изучение зависимости на несчетном множестве точек заменить изучением характеристик сигналов в виде коэффициентов Фурье (счетное множество).

Энергия сигнала в соответствии с (1.20) приобретает вид

т.е. является суммой энергий всех составляющих обобщенного ряда Фурье.

Оптимальность разложения u(t) в конечный ряд

проверяется по величине энергии ошибки аппроксимации:

Система базисных функций ортогональна, поэтому

	(1.22)

а т.к. то, несложные выкладки приводят к результатам

позволяющим определить коэффициент обобщенного ряда Фурье:

Пространство сигналов является гильбертовым и полным, т.е.

Тогда снизить норму ошибки можно выбрав N достаточно большим.

1.7 Спектральное представление сигналов

Наиболее широко используется спектральное представление рядом Фурье в базисе гармонических функций.

Строго говоря, функция должна удовлетворять условиям Дирихле:

– однозначна, конечна и кусочно-непрерывна;

– имеет ограниченное число экстремумов.

Некоторые функции не удовлетворяют этим условиям (например, в промежутке, содержащем ноль).

Сумма отдельных гармонических компонент сигнала образует спектр.

Математической моделью процесса, циклически повторяющегося во времени, является периодический сигнал со свойством: , где T – период,

Гармонический ряд Фурье

Спектральное представление можно получить, используя разложение в ряд Фурье в базисе гармонических функций

(1.23)

где - коэффициенты, – гармонические функции.

Обозначим - основную частоту и выразим (1.23) другой формулой

(1.24)

где

	(1.25)
	(1.26)
	(1.27)

Таким образом, в общем случае периодический сигнал содержит в себе независимую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических составляющих – гармоник с частотами , кратными основной частоте.

Любая гармоника ряда Фурье характеризуется амплитудой и начальной фазой . Коэффициенты ряда можно записать в виде

	(1.28)
	(1.29)

Здесь

	(1.30)
	(1.31)

Подставим (1.28), (1.29) в (1.24), получим

(1.32)

Пример спектральных диаграмм представлен на рис. 1.11

Рис. 1.11 Спектральные диаграммы: амплитудная и фазовая

Функциональная схема устройства анализа сигналов может быть представлена в виде (рис. 1.12)

Рис. 1.12 Функциональная схема амплитудного анализатора спектра

Пример: Импульсная последовательность с амплитудой S₀ и скважностью (рис. 1.13).

Рис. 1.13 Периодическая импульсная последовательность прямоугольных импульсов

По формулам (1.25) – (1.27) находим коэффициенты

Спектр последовательности прямоугольных импульсов обладает «лепестковой» структурой. На рис. 1.14 приведены спектры для двух значений скважности.

Рис. 1.14 Спектры последовательности прямоугольных импульсов

Комплексная форма ряда Фурье

Сигнал можно представить более компактной суммой ряда

(1.33)

где комплексные коэффициенты ряда равны:

	(1.34)
	(1.35)
	(1.36)

Отрицательные частоты не являются физическими понятиями, а чисто математическими, как результат представления комплексных чисел.

Слагаемые в ряду Фурье с положительными и отрицательными частотами образуют пары (рис. 1.15):

Рис. 1.15 Векторное представление сигнала суммой слагаемых ряда Фурье