1.4. Динамическое представление сигналов

Представим реальный сигнал суммой некоторых элементарных сигналов. Если длительность отдельных элементарных сигналов стремится к нулю, то в пределе получим точное представление сигнала, которое называют динамическим представлением.

Чаще всего используются два способа динамического представления: ступенчатой функцией со ступеньками через равные интервалы времени и прямоугольными импульсами малой длительности .

В 1-м способе описания сигналов используется функция включения Хевисайда, или (рис. 1.4):

	(1.3)

Рис. 1.4 Функция Хевисайда

Произвольный сигнал можно представить с помощью функции следующим образом (рис. 1.5)

Полагаем , тогда

Рис. 1.5 Представление аналогового сигнала функцией Хевисайда

Формула (1.1) для аналогового сигнала имеет вид

(1.4)

Примером может служить сигнал в виде параболы

Его динамическое представление запишется в соответствии с (1.2)

,

2-ой способ представления сигналов основан на использовании функции Дирака, или (рис. 1.6).

Выразим формулой импульс с площадью, равной 1.

В пределе   , при этом

Рис. 1.6 Функция Дирака

Произвольный сигнал можно представить с помощью элементарных импульсов длительностью следующим образом

где

– представление элементарного импульса в виде разности двух .

Запишем сумму в виде

и устремим . Тогда можно полагать

и

и в пределе получим

(1.5)

Если непрерывную функцию умножить на δ-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то получим значение функции в точке, где сосредоточен δ-импульс – так называемое фильтрующее свойство δ-функции.

Схема, осуществляющая измерения мгновенных значений некоторого сигнала имеет вид, представленный на рис. 1.7.

Рис. 1.7 Схема измерения мгновенных значений сигнала

Чем короче реальный импульс, используемый в качестве δ-функции, тем точнее измерение.

1.5 Линейное пространство сигналов

Теория сигналов становится строгой и выразительной, если она базируется на математическом аппарате функционального анализа. Иногда говорят об использовании геометрических методов, когда сигнал представляют вектором в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Воспользуемся известными из линейной алгебры положениями для формирования пространства сигналов, в котором удобно исследовать сигналы – синтезировать, анализировать, вести их обработку на основе формализованных подходов.

Пусть существует множество сигналов

имеющих некоторые общие для всех сигналов свойства. Для удобства работы с множеством сигналов зададим его структуру (аксиоматику), определяющую «взаимоотношения» между различными его элементами.

Будем говорить, что множество L образует вещественное линейное пространство сигналов, если его структура выражается следующими аксиомами:

1. Любой сигнал при любых t принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых существует ; при этом операция суммирования коммутативна; и ассоциативна: .

3. Для любого и любого вещественного определён сигнал , .

4. Существует элемент , такой, что для всех

Если элементы множества – комплексные числа, то введя соответствующее изменение в аксиоме 1 и умножение на комплексное число в аксиоме 3, можно определить комплексное линейное пространство.

Представленные аксиомы являются очень «жесткими», поэтому для расширения круга задач, решаемых с использованием линейных пространств, в структуру вводятся четыре существенных дополнений.