3. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Расчет балок производят отдельно, начиная с подвесных самых верхних балок и последовательно переходя к ниже лежащим.

Расчет балок сводится к определению опорных реакции и построению эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Для ниже лежащих балок необходимо учитывать не только ту нагрузку, которая к ним приложена, но и силы, равные по величине опорным реакциям выше стоящих балок и противоположно направленные (рис.7б).

Рис.7. Характер взаимодействия балок в поэтажной схеме

Построив эпюры внутренних силовых факторов, нужно выполнить статическую проверку для всей многопролетной балки, т. е. сумма заданных сил и реакций опор на вертикальную ось (ось z) должна быть равна нулю.

4. Построение линий влияния в балке на двух опорах

Линией влияния называется график, изображающий закон изменения реакции опоры или какого-либо внутреннего силового фактора в заданном сечении сооружения в зависимости от положения движущегося единичного груза постоянного направления.

Для построения линии влияния используются уравнения статики, которые

позволяют получить аналитическое выражение зависимости искомой величины от текущей координаты единичного груза. Положительные ординаты линий влияния откладываются вверх, а отрицательные – вниз.

4.1. Линии влияния реакций опор

Для построения линии влияния опорных реакции рассмотрим балку на двух опорах со свисающими консолями (рис. 8). Установим единичный груз

в произвольное сечение на расстоянии х от опоры A и составим два уравнения статики:

 M_A =0 =0; ;

 M_B =0 =0; .

Полученные выражения реакции R_А и R_B является уравнениями прямой линии, которые можно построить, определив ординаты в соответствующих точках:

Строим линии влияния R_A и R_B отложив соответствующие величины полученные выше. (рис.8 б,в).

Рис.8. Линии влияния опорных реакций

4.2. Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил

Сечение k располагается внутри пролета двух опорной балки со свисающими консолями.

Для построения линии влияния изгибающего момента в сечении k, расположенном на расстоянии а от левой опоры, надо получить выражение изгибающего момента в зависимости от расположения груза справа или слева от сечения k (рис.9а и рис.9б).

При движении груза справа от сечения k: а ≤ х ≤ l+c (рис. 9а).

Выражение изгибающего момента слева от сечения с учетом правила знаков

M_k= R_А· а

Из уравнения видно, что линия влияния M_k (правая ветвь от сечения k) строится как линия влияния реакции R_А с умножением всех ординат на а.

При движении груза слева от сечения k: – d ≤ х ≤ а (рис. 9б).

Выражение изгибающего момента справа от сечения с учетом правила знаков

M_k= R_B · b

Левая ветвь от сечения k линии влияния M_k строится как линия влияния реакции R_B с умножением всех ординат на b.

При построении линии влияния M_k отложим на левой опоре A величину а, соединим с нулем на опоре B и продлим вправо на величину консольного вылета. Действительная часть этой линии влияния справа от сечения k там, где движется груз. Затем отложим на правой опоре B величину b, соединим с нулем на опоре A и продлим влево на величину консольного вылета. Действительная часть этой линии влияния слева от сечения k там, где движется груз (рис. 9в).

Левая и правая ветви линии влияния изгибающего момента пересекаются под сечением k. Ордината под сечением будет равна ab/l (рис. 9в). Ординаты линий влияния на концах балки определим из подобия соответствующих треугольников.

Рис. 9. Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил

Для построения линии влияния поперечной силы в сечении k, расположенном на расстоянии, а от левой опоры, надо получить выражение поперечной силы в зависимости от расположения груза справа или слева от сечения k (рис.9а и рис.9б).

П ри движении груза справа от сечения k: а ≤ х ≤ l+c (рис. 9а). Выражение поперечной силы слева от сечения с учетом правила знаков

Q_k= R_А,

т.е. правая ветвь от сечения k линии влияния Q_k строится такая же, как линия влияния реакции R_А.

П ри движении груза слева от сечения k: – d ≤ х ≤ а (рис. 9б). Выражение поперечной силы справа от сечения с учетом правила знаков

Q_k = – R_B,

т.е. левая ветвь от сечения k линии влияния Q_k строится такая же, как линия влияния реакции R_B , ординаты которой берутся с отрицательным знаком.

При построении линии влияния Q_k отложим на левой опоре A величину, равную единице, соединим с нулем на опоре B и продлим вправо на величину консольного вылета. Действительная часть этой линии влияния справа от сечения k там, где движется груз. Затем отложим на правой опоре B величину, равную единице, соединим с нулем на опоре A и продлим влево на величину консольного вылета. Действительная часть этой линии влияния слева от сечения k там, где движется груз (рис. 9г).

Линия влияния поперечной силы в сечении k имеет скачек на величину, равную единице (рис. 9г).

Сечение k располагается в консольной части.

Для построения линий влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении k, расположенном на расстоянии f от правого конца защемленной балки, рассмотрим два положения груза справа или слева от сечения k (рис.9д).

П ри движении груза справа от сечения k: 0 ≤ х ≤ f

M_k = ; M_k(0) = 0; M_k(f) = – f.

Q_k= .

Строим правые ветви линий влияния M_k и Q_k (рис.9е,ж).

При движении груза слева от сечения k (на рис.9д он показан пунктирной линией) : 0 ≤ х ≤ c – f

Рассматривая правую от сечения k часть балки, получаем M_k =0; Q_k= 0.

Заметим, что для правой консоли двух опорной балки линии влияния изгибающего момента и поперечной силы строятся таким же образом.

Для построения линий влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении k, расположенном на расстоянии e от левого конца защемленной балки, рассмотрим два положения груза справа или слева от сечения k (рис.9з).

При движении груза слева от сечения k: e ≥ х ≥ 0

M_k = ; M_k(0) = 0; M_k(f) = – е.

Q_k= – .

Строим левые ветви линий влияния M_k и Q_k(рис.9и, к).

При движении груза справа от сечения k (на рис.9з он показан пунктирной линией) : d – e ≥ х ≥ 0

Рассматривая левую от сечения k часть балки, получаем M_k =0; Q_k= 0.

Заметим, что для левой консоли двух опорной балки линии влияния изгибающего момента и поперечной силы строятся таким же образом.

На рис.10 показаны линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил для различных сечений двух опорной балки с консолями, которые широко используются для построения линий влияния в многопролетной балке. Сечения 2 и 3 расположены слева и справа от опоры A, сечения 5 и 6 расположены слева и справа от опоры B. Значения ординат линий влияния не проставленные на этом рисунке легко вычисляются из подобия соответствующих треугольников.

Рис.10. Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил