Теоретические вопросы по курсу теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики

1. Случайные события

1. Основные понятия: классификация событий: совместные, несовместные события; зависимые и независимые события, равновозможные события, полная группа несовместных событий.

2. Относительная частота и статистическая вероятность.

3. Классическое определение вероятности. Определение, свойства вероятности.

4. Геометрическая вероятность: необходимость введения, определение.

5. Элементы комбинаторики: задачи о числе выборок из нескольких множеств, перестановки, размещения, сочетания.

6. Алгебра событий:

а) сумма конечного числа событий, теорема о сложении вероятностей несовместных событий, следствия: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, сложение вероятностей противоположных событий.

б) умножение событий. Теорема о произведении вероятностей независимых событий, следствия: вероятность появления хотя бы одного из независимых событий

в) условная вероятность; теорема умножения зависимых событий

г) сложение вероятностей совместных событий (теорема).

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса определения вероятности гипотез.

8. Схема Бернулли.

9. Теорема Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

2. Случайны величины

1. Определение случайной величины, примеры, классификация.

2. Законы распределения вероятностей СВ.

а) ряд распределения; линейные действия над дискретными СВ.

б) интегральный закон распределения: функция распределения СВ: определение, свойства.

в) дифференциальная функция распределения (плотность): определение, свойства.

3. Числовые характеристики СВ:

а) математическое ожидание: определения для ДСВ и НСВ, вероятностный смысл; свойства;

б) дисперсия и среднее квадратичное отклонение: определение, вероятностный смысл, свойства;

в) начальные и центральные моменты; коэффициент ассиметрии, эксцесс.

4. Модели дискретных распределений: биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение.

5. Модели непрерывных распределений: равномерное, показательное, нормальное распределение.

6. Предельные теоремы вероятностей: неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Бернулли, центральная предельная теорема.

III. Математическая статистика

1. Чем занимается математическая статистика? Каковы её основные задачи?

2. Что называется генеральной совокупностью, выборочной совокупностью?

3. Что называется статистическим законом распределения случайной величины?

4. Что называется эмпирической функцией распределения, в чём состоит различие между эмпирической и теоретической (интегральной) функцией распределения?

5. Дайте понятие точечной и интервальной оценок неизвестных параметров распределения.

6. Какая оценка параметра называется состоятельной, несмещённой, эффективной? Почему желательно, чтобы оценка была состоятельной, несмещённой?

7. Что называется доверительным интервалом, доверительной вероятностью?

9. Как строится доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, распределённой по нормальному закону?

10. Как строится доверительный интервал для среднего квадратического отклонения случайной величины, распределённой по нормальному закону?

11. Дайте определение статистической гипотезы.

12. Приведите примеры нулевой, альтернативной, простой и сложной гипотез. Объясните, в чём состоит принцип проверки нулевых гипотез с помощью статистических критериев значимости.

13. Что называется ошибкой первого рода, ошибкой второго рода, уровнем значимости?

14. Как находятся критические точки (квантили) статистических критериев значимости в случае двусторонней критической области, в случае левосторонней критической области, в случае правосторонней критической области?

15. Что называется критерием согласия?

16. Являются ли критерии согласия статистическими критериями значимости?

17. Дайте общую схему проверки гипотезы о виде функции распределения с помощью критерия согласия Пирсона.

18. На основании каких признаков или критериев можно сделать предварительный выбор закона распределения?

19. Дайте понятие корреляционной и статистической зависимости между значениями случайных величин X и Y.

20. Что можно оценить с помощью корреляционного отношения.

21. Какие виды корреляционной зависимости чаще всего используются на практике? Каким методом может быть получено уравнение регрессиии?

22. Что характеризует выборочный коэффициент корреляции?