Типовой разбор варианта контрольной работы

Задание 1.

В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Отбирается делегация из 7 человек на собрание. Найти вероятность того, что в делегации: 1) окажутся 3 женщины, 2) окажется хотя бы одна женщина.

Решение.

1) Событие А – в делегации из 7 человек окажутся 3 женщины, следовательно, в делегации будет 4 мужчины.

Для данного события порядок выбора не важен, важен только состав делегации. Используем формулы комбинаторики: число сочетаний .

– число способов выбора 3 женщин из 4;

– число способов выбора 4 женщин из 6.

Благоприятных исходов .

Всего исходов (число способов выбора 7 человек из 10).

Поэтому .

2) Пусть событие В – в делегации из 7 человек окажется хотя бы одна женщина.

Для вычисления вероятности этого события перейдем к противоположному событию

,

т.к. благоприятные исходы - число способов выбора 7 мужчин из 7; всего исходов (число способов выбора 7 человек из 10).

Ответ: , .

Задание 2.

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,7. Найти вероятность того, что студентом будет сдан только один экзамен

Решение.

Обозначим события – студент сдаст i-ый экзамен , тогда вероятности

i	сдачи экзаменов	не сдачи экзаменов
1
2
3

Обозначим А – студент сдаст один экзамен из трех, т.е. сдаст или 1-й экзамен из трех, или 2-й, или 3-й из трех экзаменов. Следовательно, событие .

Т.к. события несовместны, то

Ответ: а)

Задание 3.

Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 10 студентов на лекцию опоздает не более 2-х человек.

Решение.

Решение задачи основывается на вычислении вероятностей .

Событие А – «на лекцию опоздает не более 2-х человек» означает, что опоздает или 0, или 1, или 2, студента, т. е. k = 0, или k = 1, или k = 2.

Искомая вероятность определяется:

.

Вычислим по формуле Бернулли: ,

где , .

Ответ: а)

Задание 4.		1	2	3
СВ задана законом распределения.			?

Найти:

1) числовые характеристики , ;

2) функцию распределения и построить ее график;

3) вероятность ;

4) закон распределения величины СВ . Вычислить , дважды, используя свойства (по результатам предыдущих пунктов) и непосредственно по составленному закону распределения.

Решение.

В задаче рассматривается дискретная СВ Х, заданная рядом распределения. По свойству ряда Отсюда получаем

1. Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

.

Среднее квадратическое отклонение: .

Функция распределения имеет вид (рис. 1):
	Рис. 1

3) .

4) – дискретная СВ. Составим для нее ряд распределения:

	7	5	3

Вычислим числовые характеристики СВ , используя составленный ряд:

.

.

Вычислим числовые характеристики СВ , используя их свойства:

.

.

Ответ: , , , , .

Задание 5.

В партии 10% стандартных деталей. Случайным образом взяли три детали.

Составьте закон распределения СВ – числа стандартных деталей среди отобранных, и постройте многоугольник распределения.

Найдите математическое ожидание и дисперсию этой СВ.

Найти вероятности событий:

а) А – среди выбранных деталей будет не более двух бракованных;

б) В – среди выбранных деталей будет хотя бы одна стандартная.

Решение.

Данная СВ X может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Т. к. ; , , то найдём соответствующие вероятности по формуле Бернулли

.

Получим

;

;

;

.

Составим ряд распределения:

		0	1	2	3
		0,729	0,243	0,027	0,001		1
Построим многоугольник распределения (полигон), который представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами (рис. 2). Вычислим числовые характеристики СВ X: математическое ожидание:
						Рис. 2

;

• дисперсию:

.

• среднее квадратическое отклонение: .

Т. к. СВ X имеет биномиальное распределение, то и можно было вычислить по формулам:

; .

Вычислим вероятности событий А и В.

;

Ответ: ; ; ;

Задание 6.

Плотность вероятности непрерывной СВ X задана функцией

Найти:

1)	параметр С и построить график ;
2)	интегральную функцию и построить ее график;
3)	математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение ;
4)	вероятность дважды, используя дифференциальную и интегральную функции. Результат проиллюстрируйте на графиках.

Решение.

Данный закон распределения является непрерывным.

1. По свойству плотности (дифференциальной функции):

.

Получаем функцию:

	и ее график (рис. 3).
		Рис. 3

2. Найдём интегральную функцию, учитывая свойства:

   • если , то ;

   • если , то

;

• если , то

.

• если , то

.

В итоге получаем функцию и её график (рис. 4)
	Рис. 4

3. Вычислим числовые характеристики:

• математическое ожидание:

;

• дисперсию по формуле :

;

;

• среднее квадратическое отклонение: .

1. Найдём вероятность того, что СВ X примет значения из интервала двумя способами:

. Здесь вероятность численно равна площади выделенной фигуры (рис. 5). . В этом случае вероятность численно равна длине отрезка на оси (рис. 6). При этом результаты вычислений совпадают при различных способах.
	Рис. 5
	Рис. 6

Ответ: ;

; ; ; .

Задание 7.

Заданы математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной непрерывной СВ.

Найти:

1. вероятность ;

2. вероятность ;

3. симметричный, относительно , интервал, в который попадает случайная величина с вероятностью ;

4. интервал, в котором практически окажутся все значения величины .

Дайте графические пояснения ответов на кривой нормального распределения ко всем пунктам.

Решение.

1) СВ X – распределена нормально с параметрами .

Используем формулу , где – функция Лапласа, ее значения табулированы (см. приложение).

.

С графической точки зрения вероятность позволяет определить площадь фигуры, находящейся под графиком дифференциальной функции на указанном интервале. В данном случае (рис. 7): .
	Рис. 7
2) Используем формулу . Тогда . Соответствующая фигура и ее площадь показаны на рис. 8.
	Рис. 8
3) . Имеем , тогда по таблице приложения значений функции Лапласа находим .
	Рис. 9

Искомый интервал имеет вид: .

Итак получаем интервал: (рис. 9).

4) Практически все значения величины Х попадут в интервал, удовлетворяющий правилу «трёх сигм»: , Получаем искомый интервал: (рис. 10).
	Рис. 10

Ответ: , ,

, .

Задание 8.

Дано распределение выборочной совокупности:

интервал	66-70	70-74	74-78	78-82	82-86	86-90	90-94	94-98	98-102	102-106
	4	3	7	16	18	20	15	7	6	4

1. Построить полигон, гистограмму и кумуляту относительных частот.

2. Найти числовые характеристики выборочной совокупности: , , s.

Решение.

	интервал	середина интервала	частота	относительная частота
1	66-70	68	4	0,04
2	70-74	72	3	0,03
3	74-78	76	7	0,07
4	78-82	80	16	0,16
5	82-86	84	18	0,18
6	86-90	88	20	0,20
7	90-94	92	15	0,15
8	94-98	96	7	0,07
9	98-102	100	6	0,06
10	102-106	104	4	0,04
Σ	–	–	100	1

Отметим, что – объём выборки; .

Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения. В частности, относительные частоты являются статистическими аналогами вероятностей полной группы несовместных событий.

1. Построим полигон, гистограмму относительных частот и кумуляту. а) Полигон относительных частот вариационного ряда – ломаная линия, соединяющая точки . График полигона представлен на рис. 11.

Рис. 11

Полигон относительных частот является статистическим аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины Х.

б) Гистограмма относительных частот изображается только для интервального ряда и имеет вид ступенчатой фигуры (рис. 12). На каждом частичном интервале строим прямоугольник высотой .

Рис. 12

Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности) непрерывной случайной величины Х.

в) График эмпирической функции распределения непрерывной случайной величины X совпадает с кумулятой (графиком накопленных частот).

Отметим на плоскости точки, соответствующие значениям функции на концах интервалов, и соединим их отрезками прямых (рис. 13).

		70	74	78	82	86	90	94	98	102
	0	0,04	0,07	0,14	0,30	0,48	0,68	0,83	0,90	0,96	1

Рис. 13

Эмпирическая функция распределения является статистическим аналогом интегральной функции распределения случайной величины Х.

2. Найдем числовые характеристики выборки.

Выборочные характеристики – это функции наблюдений, приближённо оценивающие соответствующие числовые характеристики случайной величины.

Для нахождения выборочной средней , выборочной дисперсии , выборочного среднего квадратического отклонения (статистические аналоги соответствующих числовых характеристик случайной величины) заполним вспомогательную таблицу.

i
1	68	4	0,04	2,72	184,96
2	72	3	0,03	2,16	155,52
3	76	7	0,07	5,32	404,32
4	80	16	0,16	12,80	1024,00
5	84	18	0,18	15,12	1270,08
6	88	20	0,2	17,60	1548,80
7	92	15	0,15	13,80	1269,60
8	96	7	0,07	6,72	645,12
9	100	6	0,06	6,00	600,00
10	104	4	0,04	4,16	432,64
Σ	–	100	1	86,4	7535,04

Находим выборочное среднее:

;

выборочную дисперсию:

;

выборочное среднее квадратическое отклонение: ;

исправленную выборочную дисперсию:

;

исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Т. к. число наблюдений достаточно велико, то вместо можно использовать неисправленную выборочную дисперсию .