Задание №3 тема: геометрические характеристики плоских сечений
Дано:
1) составное поперечное сечение рис.3
2) Размеры сечения (№ профиля) – таблица 2.
№ схемы по рис.3 |
Лист bxh, мм |
№ швеллера |
№ уголка |
4 |
16х330 |
18 |
16 |
Требуется:
1) Определить положение центра тяжести составного сечения;
2) Вычислить моменты инерции всего сечения относительно центральных осей;
3) Определить положение главных центральных осей
4) вычислить главные моменты инерции;
1. Составное поперечное сечение можно разбить на три простых фигуры:
1 – прямоугольник 16 х 330;
2 – швеллер № 18;
3 – уголок № 16.
2. Определение площади листа: F 1 = b x h = 16 × 330 = 5280 мм 2 = 52,8 cм 2
3. По ГОСТ 8239 - 89 и ГОСТ 8509 - 93 выписываем технические
характеристики швеллера № 18 и равнополочного уголка № 16.
Швеллер № 18
h2 = 180 мм, b2 = 70 мм, d = 5,1 мм, t = 8,7 мм, F 2 = 20,7 cм 2, J X2 = 86 cм 4,
J У2 = 1090 cм 4, z 02 = 1,94 см.
Уголок № 16
b =160 мм, d = 10 мм, F 3 = 31,43 cм 2, J X3 = 774,24 cм 4, J X0 max = 1229,1 cм 4,
J У0 min = 319,38 cм 4, z 03 = 4,3 см,
4. Исходя из размеров выполняем сечение в масштабе 1 : 2 (смотри рисунок)
5. Проводя систему координат хОу, для каждой фигуры находим положения центров тяжести С 1, С 2, С 3 и определим координаты центров тяжести:
хс1 = b1 /2 = 16/2 = 8 мм;
У С1 = h 1 /2 = 330/2 = 165 мм;
хс 2 = b 1 + h 2 /2 = 16 + 90 = 106 мм;
У С2 = b 3 + z 02 =160+19,4= 179,4 мм;
хс 3 = b 1 +z 03 = 16 + 43 = 59 мм;
У С3 = b 3 –z 03 = 160- 43 = 117 мм.
6. Вычислим координаты центра тяжести составного поперечного сечения по формулам:
;
,
где F - площадь фигуры, cм 2;
7. Вычислим моменты инерции сечения относительно центральных осей:
+
+
;
+
+
,
где
- моменты инерции i - ого элемента сечения
относительно его осей, параллельных
осям
и
;
а i ,d i - координаты (расстояния от центральных осей до своих осей);
а 1 = Ус1 - Ус = 165 – 153,46 =11,54 мм
d 1 = Xс1 - Xс = 8 - 42,6 = - 34,6 мм
а 2 = Ус2 - Ус = 179,4 - 153,46 = 25,94 мм
d 2 = Xс2 - Xс = 106 - 42,6 = 63,4 мм
а 3 = Ус3 - Ус = 117 – 153,46 = -36,46 мм
d 3 = Xс3 - Xс = 59 - 42,6 = 16,4 мм
Определим моменты инерции листа, имеющего прямоугольное сечение:
=
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
8. Определим величину центробежного момента инерции уголка, так как оси Х и У не являются главными:
=
=
9. Определим величину центробежного момента инерции относительно центральных осей: и :
=
+
+
+
+
+
Учитывая,
что
= 0 и
= 0, перепишем формулу в следующем виде:
=
+
+
+
=
+
+
-
=
10.
Определим направление главных центральных
осей
и
.
Главные оси и проходят через центр тяжести С и повернуты относительно центральных осей на угол a 0 , величина которой определяется по формуле:
=
=
-15,50
Þ
-7,7 0
11.Показываем на рисунке направление главных центральных осей и .
Так
как угол
,
то главные центральные оси
и
получаем поворотом осей
и
по ходу часовой стрелки.
12. Определяем главные моменты инерции сечения:
+
-
;
+
+
;
+
+
=
+
-
При правильном вычислении выполняется равенство:
+
=
+
+ = +
Условие выполняется, значит, задача решена правильно.
Рис3. Эскиз составного сечения