2.6. Нахождение экстремумов функции (максимум и минимум)

Из графики функции определим приблизительно максимальное и минимальное значение функции F(x). Локальный максимум достигается на отрезке [–6; –2], локальный минимум на отрезке [0;4]. С помощью команды Поиск решения найдем максимум и минимум функции.

		Значение аргумента						Значение функции
Максимум					-4							90
Минимум					2							-18

3. Решение систем линейных уравнений

Задание 2. Решите систему линейных уравнений: а) методом Крамера,

б) с помощью обратной матрицы.

3.1 Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть задана система линейных уравнений

Неизвестные x₁, x₂, … , x_n вычисляются по формулам:

D – определитель матрицы А, D_i – определитель матрица, полученный из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

, , , ,

Запишем в табличном процессоре Microsoft Office Excel матрицы, которые понадобятся нам при вычислениях. Найдем определители D, D₁, D₂, и D₃, используя математическую функцию МОПРЕД. Корни уравнения найдем по формулам: . В результате всех вычислений должны получиться следующие данные:

Рис. 1. Результаты вычисления методом Крамера

3.2 Решение систем линейных уравнений матричным методом

Пусть дана система линейных уравнений

Эту систему можно представить в матричном виде: А·Х=В, где

, , .

Умножим систему линейных алгебраических уравнений А·Х=В слева на матрицу, обратную к А. Тогда система уравнений примет вид: А^-1·А·Х=А^-1·В.

Так как А^-1·А=Е (единичная матрица), то получим Е·Х=А^-1·В.

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле: Х=А^-1·В.

Запишем в табличном процессоре матрицу А и столбец свободных членов В. Нам необходимо найти обратную матрицу А^-1, для этого:

1. Выделим диапазон ячеек;

2. Вызовем функцию МОБР;

3. В появившемся диалоговом окне заполним поле ввода Матрица;

4. Нажмем ОК

5. В первой ячейке выделенного диапазона появиться некоторое число. Чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2, для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Ente.

Осталось найти вектор неизвестных по формуле Х=А^-1·В, для этого:

1. Выделим диапазон ячеек;

2. Вызовем функцию МУМНОЖ;

3. Укажем диапазоны матриц;

4. Нажмем кнопку ОК.

В результате получим следующие значения:

Рис. 2. Результаты вычисления матричным методом

4. Построение графика системы уравнений

Задание 3. Построить график системы уравнений

x [-1.4;1.9]

Табулируем систему уравнений. В ячейку А1 записываем -1.4, в А2 -1,3 и заполняем до А34 автозаполнением. В ячейку В1 записываем систему уравнений в виде, принятом в Excel и распространяем ее до В34 автозаполнением. По столбцу В строим график:

Система уравнений в принятом в Excel виде:

=ЕСЛИ(A1<0;(1+2*A1)/(1+A1^2);ЕСЛИ(A1>1;SIN(A1)^2*EXP(0.2*A1);SIN(A1)^2*КОРЕНЬ(1+A1)))

Рис. 3. График системы уравнений F(x)