2. Нахождение корней уравнения
Задание 1. Найти корни уравнения x3+3x2–24x+10=0 3 способами; найти экстремумы функции (максимум и минимум).
2.1. Построение графика функции
Для построения графика функции выполним табулирование функции – заполним таблицу аргументов и соответствующих им значений функции. Значения аргументов заданы арифметической прогрессией.
В ячейку A5 введем число 10, затем в диапазоне A5:A25 введем арифметическую прогрессию, выполнив команду Правка – Заполнить и подкоманду Прогрессия (Шаг: число 1, Предельное значение: число 10).
В ячейку B5 введем формулу x3+3x2–24x+10. Скопируем формулу из ячейки В5 в диапазон ячеек В6:В25, используя маркер автозаполнения. Построим график функции F(x) и отформатируем диаграмму (рис. 1).
Аргумент |
-10 |
-9 |
-8 |
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
Функция |
-450 |
-260 |
-118 |
-18 |
46 |
80 |
90 |
82 |
62 |
36 |
10 |
Аргумент |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Функция |
-10 |
-18 |
-8 |
26 |
90 |
190 |
332 |
522 |
766 |
1070 |
|
Рис. 1 График функции F(x)
2.2. Нахождение корней уравнения
Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения f(x)=0. Предположим, что на отрезке [а,b] имеется корень. Если выполняется условие f(a)*f(b)<0 (функция меняет знак на противоположный), то внутри отрезка [а,b] существует значение корня с, при котором значение функции равно 0, т.е. f(c)=0, cЄ(a,b). Последовательно сужая отрезок [а,b] добиваемся уточнения корня до заданного количества десятичных знаков. Нам нужна точность 0.0001.
Для решения уравнения приближенно найдем корни уравнения графическим способом, а затем уточним их 3 различными методами. Для этого проанализируем полученную таблицу В4:В25 и найдем интервалы значений аргумента, в конечных точках которых значения функции имеют противоположные знаки. Таких интервалов три: отрезок [–7;–6], отрезок [0; 1] и отрезок [3;4] – соответственно и корней будет тоже три.
2.3. Решение уравнения F(x)=0 методом перебора
В таблице значений функции имеются значения разных знаков, далее табулируем функцию на отрезке, где функция меняет знак с меньшим шагом и повторяем далее уменьшение шага до тех пор, пока не уточним значение корня до заданной точности, т.е. до 0,0001.
Берем начальную границу интервала, табулируем с шагом 0,1. Находим интервал смены знака и снова табулируем еще с более мелким шагом в 0,01. Затем табулируем с шагом 0,001 и в самом конце с шагом 0,0001. Мы достигли заданной точности и можем увидеть приближенное значение корня. На интервале смены знака смотрим значение функции, которое по модулю ближе к «0» и берем соответствующее ему значение аргумента.
Рассмотрим первый отрезок [–7;–6], на этом участке функция меняет знак с «–» на «+», то есть на этом отрезке существует корень. Уточним его.
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
-7 |
-18 |
-6,8 |
-2,512 |
-6,77 |
-0,310033 |
-6,766 |
-0,018795 |
-6,9 |
-10,079 |
-6,79 |
-1,774539 |
-6,769 |
-0,237172 |
-6,7659 |
-0,011521 |
-6,8 |
-2,512 |
-6,78 |
-1,040552 |
-6,768 |
-0,164345 |
-6,7658 |
-0,004248 |
-6,7 |
4,707 |
-6,77 |
-0,310033 |
-6,767 |
-0,091553 |
-6,7657 |
0,003025 |
-6,6 |
11,584 |
-6,76 |
0,417024 |
-6,766 |
-0,018795 |
-6,7656 |
0,010298 |
-6,5 |
18,125 |
-6,75 |
1,140625 |
-6,765 |
0,053928 |
-6,7655 |
0,017571 |
-6,4 |
24,336 |
-6,74 |
1,860776 |
-6,764 |
0,126616 |
-6,7654 |
0,024843 |
-6,3 |
30,223 |
-6,73 |
2,577483 |
-6,763 |
0,19927 |
-6,7653 |
0,032115 |
-6,2 |
35,792 |
-6,72 |
3,290752 |
-6,762 |
0,271889 |
-6,7652 |
0,039386 |
-6,1 |
41,049 |
-6,71 |
4,000589 |
-6,761 |
0,344474 |
-6,7651 |
0,046657 |
-6 |
46 |
-6,7 |
4,707 |
-6,76 |
0,417024 |
-6,765 |
0,053928 |
Получили значение корня –6,7657 с точностью 0,0001. Аналогично находим корни на двух других интервалах.
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
0 |
10 |
0,4 |
0,944 |
0,44 |
0,105984 |
0,445 |
0,002196 |
0,1 |
7,631 |
0,41 |
0,733221 |
0,441 |
0,085209 |
0,4451 |
0,000123 |
0,2 |
5,328 |
0,42 |
0,523288 |
0,442 |
0,064443 |
0,4452 |
-0,001951 |
0,3 |
3,097 |
0,43 |
0,314207 |
0,443 |
0,043685 |
0,4453 |
-0,004024 |
0,4 |
0,944 |
0,44 |
0,105984 |
0,444 |
0,022936 |
0,4454 |
-0,006098 |
0,5 |
-1,125 |
0,45 |
-0,101375 |
0,445 |
0,002196 |
0,4455 |
-0,008171 |
0,6 |
-3,104 |
0,46 |
-0,307864 |
0,446 |
-0,018535 |
0,4456 |
-0,010244 |
0,7 |
-4,987 |
0,47 |
-0,513477 |
0,447 |
-0,039258 |
0,4457 |
-0,012317 |
0,8 |
-6,768 |
0,48 |
-0,718208 |
0,448 |
-0,059973 |
0,4458 |
-0,01439 |
0,9 |
-8,441 |
0,49 |
-0,922051 |
0,449 |
-0,080678 |
0,4459 |
-0,016463 |
1 |
-10 |
0,5 |
-1,125 |
0,45 |
-0,101375 |
0,446 |
-0,018535 |
На втором отрезке [0; 1], получили значение корня 0,4451.
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
Аргумент |
Функция |
3 |
-8 |
3,3 |
-0,593 |
3,32 |
-0,018432 |
3,32 |
-0,018432 |
3,1 |
-5,779 |
3,31 |
-0,307009 |
3,321 |
0,010568 |
3,3201 |
-0,015533 |
3,2 |
-3,312 |
3,32 |
-0,018432 |
3,322 |
0,039594 |
3,3202 |
-0,012634 |
3,3 |
-0,593 |
3,33 |
0,272737 |
3,323 |
0,068646 |
3,3203 |
-0,009735 |
3,4 |
2,384 |
3,34 |
0,566504 |
3,324 |
0,097724 |
3,3204 |
-0,006835 |
3,5 |
5,625 |
3,35 |
0,862875 |
3,325 |
0,126828 |
3,3205 |
-0,003935 |
3,6 |
9,136 |
3,36 |
1,161856 |
3,326 |
0,155958 |
3,3206 |
-0,001035 |
3,7 |
12,923 |
3,37 |
1,463453 |
3,327 |
0,185114 |
3,3207 |
0,001865 |
3,8 |
16,992 |
3,38 |
1,767672 |
3,328 |
0,214296 |
3,3208 |
0,004766 |
3,9 |
21,349 |
3,39 |
2,074519 |
3,329 |
0,243503 |
3,3209 |
0,007667 |
4 |
26 |
3,4 |
2,384 |
3,33 |
0,272737 |
3,321 |
0,010568 |
На третьем отрезке [3;4], получили значение корня 3,3206.
2.4. Решение уравнения Y = F(x) методом подбора параметра
Выполним команду меню Сервис – Подбор параметра. В окне диалога заполним следующие поля: в поле Значение введем число 0, в поле Изменяя значение ячейки укажем абсолютный адрес ячейки.
|
|
Подобранное значение корня |
Приближенное значение функции |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Корень №1 |
|
-6,7657 |
|
|
5,16275E-06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корень №2 |
|
0,4451 |
|
|
-7,34067E-06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корень №3 |
|
3,3206 |
|
|
2,35665E-07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. Решение уравнения Y = F(x) методом поиска решения
Выполним команду меню Сервис – Поиск решения. В окне диалога заполним следующие поля: установим целевую ячейку, равной значению «0. Нажмем кнопочку выполнить, установм переключатель на «Сохранить найденное решение», ОК. Получим искомое значение корня.
|
|
Подобранное значение корня |
Приближенное значение функции |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Корень №1 |
|
-6,7657 |
|
|
4,34731E-05 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Корень №2 |
|
0,4451 |
|
|
1,22576E-04 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Корень №3 |
|
3,3206 |
|
|
-1,99019E-05 |
|
|||||||