Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теория программирования

Файл:

Брошюра FLOGOL-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

С л е д с т в и е 2 . Каноническое представление любого комбинаторного

d -отношения – единственно.

Обозначим через (S ) множество всех связанных подсетей связан-

ной сети S . Построить его можно, например, выбирая в качестве мно-

жеств точек этих подсетей всевозможные подмножества точек сети S , со-

держащие все ее входные и выходные точки, и исключая при этом произ-

вольное подмножество элементов S (включающее, как минимум, все те элементы S , которые имеют в качестве своей некоторой входной либо выходной точки хотя бы одну точку, не включенную в выбранное под-

множество). Очевидно, что

( S (S ))

S S . Более того, любая связанная

сеть

имеет единственную связанную безэлементную подсеть

0 , при-

чем

(S )

представляет собой решетку по отношению порядка

0 .

наименьшим элементом

и наибольшим элементом S

Т е о р е м а

2.11. Необходимым и достаточным условием сильного реля-

ционного включения

является существование для всякой сети

из

такой сети

, что

(S ) , т.е.

( S

)( S

(S ) .

Доказательство.

Достаточность. Очевидно, что если для всякой сети из

суще-

ствует сеть, не меньшая ее в сильном реляционном смысле, то

Необходимость. Если связанные безэлементные основные подсети

S 0

сетей

S и

S , соответственно, не совпадают, то,

согласно теореме

0 ,

2.9, S 0 S

и,

т.к.

S S

то

. Отсюда для этого случая следует и

для всех

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 31

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ


условие	необходимости,			т.к. для любой безэлементной сети		S 0
S 0	. Если же		0		0 , то для доказательства необходимости нам
		S		S

потребуется понятие интерпретации, индивидуальной для произвольной связанной сети S . Обозначим задающую ее интерпретацию элементов ба-

зиса через . Пусть
зиса через . Пусть		S	P, I ,O, E,G , где	G – полный dif -граф.
	S
О п р е д е л е н и е 2.22.			S R { Ie ,Oe \| R, IeOe E} для всех сор-

тов R	элементов базиса, полагая, что в качестве носителя выбрано мно-
жество	P точек сети	S .

О п р е д е л е н и е 2.23. Точка сети называется либеральной, если она не является ни входом, ни выходом одного из элементов сети.

Пусть	Pл – подмножество либеральных точек сети	S .
Л е м м а 1 .	S { (I ), (O) \| для всех перестановок на P }.
	S	л

Доказательство. Полагая, что для любой разметки (см. определение ре-

ляционной интерпретации сети) ( p) p для всех p P \ Pл , а проекция

	на подмножество	либеральных точек – произвольная перестановка
на	P , получим, что	(I ), (O) S . Для всех других разметок
	л	S

условия в определении реляционной интерпретации сети не выполняются,

и, следовательно,			выполняется утверждение леммы.
Л е м м а	2 .	Для произвольной связанной сети			S той же арности, что и

S ,	S		S , если и только если	S – подсеть S .
S		S
Доказательство.			Очевидно, что для выполнения условия леммы необхо-

димо, чтобы в S			было не меньше точек, чем в		S , иначе при мощности

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 32

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

носителя, равной

| P |,

. Так как

–

свя-

занная сеть, то равенство разметок точек

p2 означает, что и

p1 и

p2 – одна и та же точка, а неравенство разметок – что

и p2

– различ-

ные точки. Отсюда следует, что для того, чтобы

d -отношение

не оказалось пустым, все элементы сети

S должны быть элементами се-

(с точностью до точечного изоморфизма). Это означает выполнение

ти S

первого условия того, что S – подсеть

S . Второе условие – совпадение

входов и, соответственно, выходов сетей

S – также будет выпол-

нено, т.к. рассматривается случай, когда

S 0

S 0 .

Из леммы 2 следует и требуемое доказательство необходимости для

рассматриваемой теоремы 2.11. Действительно,

для каждой сети

следует рассмотреть индивидуальную интерпретацию

. В соответствии

S '

с леммой 1, для любой перестановки

на множестве либеральных точек

сети

и,

следовательно,

(I ),

(O )

S '

(I ), (O ))

. Так как

, то (I ), (O ) " , а

S '

согласно лемме 2, это возможно только в случае, если существует сеть


S	, являющаяся подсетью	S	, что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е. Исчисление		R I C полно на множестве ациклических
схем.

Обобщенные правила вывода второго исчисления – сильного реляци-

онного включения произвольных сетевых языков – формулируются в гра-

фической (сетевой) форме. Первое правило равносильно аксиомам 18,19

RIC:

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 33

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Если S1 и S 2 – сетевые языки одинаковой арности, то

( S1 S 1 )( S2 S 2 )S1 S2 .

S 1 S 2

Второе правило равносильно аксиоме 17:


	{p , p } G	.


{S} S {[ p	/ p ]S, P, I ,O, E,G {p , p } } S

Аксиома 16 «работает» в процессе отождествления точек сети при выполнении операций последовательной композиции сетей и подстановки сети в сеть вместо ее некоторого элемента.

ci	"
ci	для всех	c(0,1)	B ;
	для всех	c(0,1)	B ;
		i	т

	для всех				c(mi ,1)	B , m 0 ,
					i	т
(для всех						'		"
(для всех	x(0,1)	B	т	B		x j	x j
	j		т		н

сi

xmi

'
'

сi

xmi

)

'		"

Рис. 2.19. Правило вывода по индукции для сетевых языков в конструктивном базисе.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 34

2.СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.11.Примеры индуктивных доказательств эквивалентности сетевых языков в конструктивных базисах.

Пусть и – сетевые языки в некотором конструктивном базисе,

заданные с помощью сетевых КС-грамматик с аксиомами		и , соот-
ветственно, и нам требуется доказать, что		для эрбра-
э	э

новской интерпретации э элементов терминального базиса этих грамма-

тик. Так как деструкторы выразимы в рекурсивном языке с основной сиг-

натурой { ,#, } с помощью конструкторов и комбинаторных констант,

то можно считать, что терминальный базис содержит только элементы, ин-

терпретируемые как конструкторы:		B {с(n1 ,1)		,c(n2 ,1) ,...}.	Не ограничивая
		т	1	2
общности, будем считать, что	и		имеют арность		1,n . Так как
комбинаторная константа			может быть		определена как

{x(1,1) (сi x сi )}, то, согласно правилу вывода по индукции (прави-

ci C

ло П4 для языков рекурсивных схем), для сетевых представлений получим следующие правила для отношений и (рис. 2.19):

Воспользуемся этим правилом для доказательство коммутативности сложения, определенного в примере 1 (рис. 2.7) в базисе {N (0,1) , S (1,1) }.

Вначале докажем равенство (задача 1), показанное на рис. 2.20.

Доказательство иллюстрирует рис. 2.21, откуда непосредственно следует

N	A
	=

Рис. 2.20. Задача 1.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 35

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

искомый результат. При доказательстве используются свойства конструк-

торов (тотальность, функциональность, функциональность деструкторов,

ортогональность разных конструкторов) и рекурсивная подстановка пра-

вых частей правил грамматики вместо элементов нетерминальных сортов.

Докажем также, что имеет место эквивалентность, представленная на рис. 2.22 (задача 2). Доказательство представлено на рис. 2.23.

а)

A	N
=

б)

	N	A	x
		=	x
	x	=
	x
			N		A
	N				S
	N	A
x	S			S

N	A

x

Рис. 2.21. Решение задачи 1.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 36

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

S	A		A	S
		=		S
	Рис. 2.22. Задача 2.
S	A			A
а)		S		S
N				N

б)

Пусть

	S	A		A
		=		S
	x	=	x
	x		x
		Тогда
	S	A	S	A
		A		A
x	S		x	S	=
x	S		x

Рис. 2.23. Решение задачи 2.

Наконец мы уже можем доказать коммутативность сложения (задача

3, рис.2.24). Доказательство иллюстрирует рис. 2.25. Приводить сети к од-

ному входу в явном виде нет необходимости – просто доказательство по

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 37

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

индукции следует проводить по одному из входов. В общем случае, в

дальнейшем может потребоваться индукция еще по одному входу или вы-

A	A
	=

Рис. 2.24. Задача 3.

а)

б) Пусть

		A
	=	N
		N

согласно решению задачи 1

A		A
x	=	x
x		x

	Тогда
			A
		A
x	S		S
			S

по предположению

S	x	A
S	=

S	=

согласно решению задачи 2

S	A
	S

Рис. 2.25. Решение задачи 3.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 38

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ходу сети и т.д.

ЛИТЕРАТУРА

1.Кутепов В.П., Фальк В.Н. Функциональные граф-схемы алгоритмов и их эквивалентные преобразования // Киев: Труды Первой Всесоюзной конференции по программированию. Изд. Института Кибернетики АН УССР, 1968.

2.Фальк В.Н. Исследование эквивалентности схем программ средствами языка схем отношений // Программирование, 1982. №6.

3.Фальк В.Н. Формальная модель языков программирования FALGOL – тридцать лет спустя // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. №1.

4.Фальк В.Н. Языки схем отношений // Формальные модели параллельных вычислений. Новосибирск, 1988.

5.Кутепов В.П., Фальк В.Н. Направленные отношения: теория и приложения // Изв. РАН. Техническая кибернетика, 1994. №4,5.

6.Фальк В.Н. Теория направленных отношений и ее приложения // Автореф. дисс. … докт. техн. наук. -М: МЭИ. -2001.-40 с.

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 39

2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ
2. СЕТЕВЫЕ ЯЗЫКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ...............................................................................	1
2.1. Графические представления схем d -отношений. ...........................	1
2.2. Базисы и сети. ..........................................................................................	4
2.3. Элементарные сети.................................................................................	7
2.4. Операции композиции сетей. ...............................................................	7
2.5. Свободные и связанные сети. Вложение сетей. ................................	9
2.6. Сетевые языки.......................................................................................	11
2.7. Сетевая интерпретация рекурсивных схем d -отношений..........	14
2.8. Реляционная интерпретация сетевых языков................................	16
2.9. Примеры задания сетевых языков и их реляционной
интерпретации..............................................................................................	17
2.10. Формализация отношений реляционного включения и
эквивалентности сетевых языков. ...........................................................	26
ЛИТЕРАТУРА .................................................................................................	39

FLOGOL: ЯЗЫК И СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете Теория программирования

#
28.06.2014814.59 Кб17FALGOL.doc
#
28.06.2014923.8 Кб18FLOGOL IDE (отчёт).pdf
#
28.06.20141.28 Mб23Брошюра FLOGOL-1.pdf
#
28.06.20141.25 Mб18Брошюра FLOGOL-2.pdf
#
28.06.20141.06 Mб28Сетевой логический вывод.pdf
#
28.06.2014971.45 Кб25Часть 4. Язык функционально-логического программирования FLOGOL.pdf
#
28.06.2014721.37 Кб22Часть 5. S-FLOGOL-система функционально-логического программирования.pdf
#
28.06.201422.45 Кб18Экзаменационные вопросы (2013).docx
#
28.06.20141.55 Mб31Элементарное введение в лямбда-исчисление.doc