Задание 1.

В механизм входят 3 одинаковые детали. Механизм не будет работать, если будут поставлены 2 или 3 детали уменьшенного размера. У сборщика всего 10 деталей, из которых 3 меньше стандарта. Найти вероятность того, что механизм будет работать нормально, если сборщик возьмет наудачу 3 детали.

Решение.

Пусть событие А={механизм работает нормально}, . Для появления события А по условию необходимо, чтобы либо все 3 детали были стандартного размера, либо только одна их них нестандартна.

Три стандартные детали можно выбрать способами.

Одну нестандартную и две стандартных - способами.

Следовательно, число благоприятствующих исходов для события А будет равно .

Ответ: вероятность того, что механизм будет работать нормально, если сборщик возьмет наудачу 3 детали равна 0,8167.

Задание 2.

Дана электрическая цепь II

I

III

Каждый элемент этой цепи работает независимо от других. На протяжении промежутка времени t I- элемент выходит из строя с вероятностью 0,2; II – с вероятностью 0,3; III – с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что цепь не выйдет из строя на протяжении рассмотренного интервала времени.

Решение.

Обозначим через А_i – событие « i-тый элемент не выходит из строя на протяжении рассматриваемого интервала времени».

Тогда

Если А – событие «цепь выходит из строя на протяжении рассмотренного интервала времени», то .

Так как А₁ не зависит от А₂ и А₃, то . Но

Окончательно получаем: Р(А)=0,8*0,925=0,740.

Ответ: вероятность, что цепь не выйдет из строя на протяжении рассмотренного интервала времени равна 0,74.

Задание 3.

Партия приборов состоит из приборов рижского и московского заводов. В партии 70% приборов рижского завода. Для прибора московского завода надежность (то есть вероятность безотказной работы) в течение времени t) равна 0,95, рижского – 0,92. Прибор испытывался в течение времени и работал безотказно. Найти вероятность того, что испытывался прибор московского завода.

Решение.

Обозначим через В₁ гипотезу « на испытание попал прибор рижского завода», Р(В₂)=0,7.

Пусть А – событие «случайно отобранный прибор проработает безотказно в течение времени t».

По условию задачи Р(А)=0,3*0,95+0,7*0,92=0,929.

Вероятность того, что безотказно проработавший в течение времени прибор сделан на московском заводе, можно вычислить по формуле Байеса:

Ответ: вероятность того, что испытывался прибор московского завода равна 0,307.

Задание 4

Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.

Решение

Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становится практически невозможным. В таких случаях применяют теорему Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р, а число n достаточно велико, то вероятность Р_n(m) того, что в этих испытаниях событие А наступит m раз вычисляется приближенно по формуле:

1. Р_n(m) где а

Имеются готовые таблицы значений функции j(х). Для х>5 считают, что . Так как функция j(х) четная, то j(-х)=-j(х). По условию задачи n = 625, m=415, p=0.64. Находим q=1-0,64=0,36.

Определяем значение х при этих данных:

По таблице 1 находим, что j(1,25)=0,1826. Подставив это значение в (1), получим

Ответ: .