Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Книги / Красовская Т. Ф. Операционное исчисление.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

16.06.2020

Размер:

740.95 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Если ввести обозначение z(t) Z(p), то уравнение в изображениях:

Z(p) + 2pZ(p) + Z(p) = , откуда

Z(p) =

–

1 –

– t .

Итак, z(t) = 1 – (1 + t) , тогда по вышеизложенному:

y(t) =

[z(t) f(t)], где f(t) =

– правая часть исходного уравнения

y(t) =

[∫

] =

[∫

– (t –

)

d ] =

(1 – – 0) + ∫

–

+ (t –

)

d =

= ∫

d =

∫

– ∫

d ] =

[– t

– ln |1 + | –

]| =

(

– ln |1 + t| –

+ t + 1) =

(t – ln |1 + t|).

Тогда

x(t) = y(t) – 2 + t = (t – ln |1 + t|) + t – 2 – ответ.

Выведем изображение еще для одной часто встречающейся на практике функции, называемой импульсной функцией.

ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ

Рассмотрим функцию (t, h) =

	1	,	если 0 t h
		,	если 0 t h
h				.
0,			если	t 0, h

Пользуясь функцией Хэвисайда с запаздыванием, можно ее записать

одним выражением:	(t, h) =			( (t) –		(t – h)).
одним выражением:	(t, h) =			( (t) –		(t – h)).
Тогда ее изображение:			(t, h)				(1 –	).
Тогда ее изображение:			(t, h)				(1 –	).
Если теперь h	, то	(t, h)				, но при этом для всех t (0, h) спра-
ведливо: h (t, h) = 1.
Рассмотрим функцию		(t) =						.
Ее называют импульсной функцией нулевого порядка или дельта-
функцией, функцией Дирака					{			.

Умножение единичной импульсной функции (t) на постоянную С дает импульсную функцию С (t) величины С, т. е. импульс величины С. Введение столь необычной функции оправдывается пользой, которую она

приносит при решении прикладных задач, когда действие некоторых физических величин имеет характер мгновенного толчка, например, удар тела или электроудар, т. е. включение тока большой силы на весьма короткий промежуток времени.

Изображение (t) естественно определить с помощью соотношения:


(t)		.

Применяя правило Лопиталя, получаем:
(t)	= 1.

Итак, (t) 1.

Можно так же ввести импульсную функцию с запаздыванием:

,	если	t τ
δ t τ		t τ	.
0,	если	t τ

Тогда изображение импульсной функции с запаздыванием: (t – ) (по теореме запаздывания).

Так же вводятся импульсные функции первого, второго и так далее порядков:

(t) =

Формально можно считать, что h =

t и

(t) =

= (t).

Аналогично тому, как нашли изображение

(t)

можно

найти

изображение (t):

(t)

Применяем правило Лопиталя:

(t)

Применяем правило Лопиталя:

(t)

= –p + 2p = p.

Итак, (t) p.

Аналогично вводится импульсная функция второго порядка:

(t) =

, (как видим, формально можно считать

(t) = (t)) и ее изображение

(t)

. Так можно продолжить и далее.

Пример 18. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

+ = 3

(t); y(0) =

(0) = 0.

Введем обозначение y(t)

Y(p), тогда

(t)

pY(p);

(t)

Y(p).

С учетом, что 3 (t) 3, получаем уравнение в изображениях:

( + p)Y(p) = 3, откуда Y(p) =

= 3

= 3 (

–

)

3(1 –

Итак, ответ: y(t) = 3(1 –

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ (возможные вопросы на экзамене)

1.	Является ли функция f(t) = tg t	оригиналом?
2.	Является ли функция f(t) =	t – 1) оригиналом?
3.	Является ли функция f(t) =	оригиналом?
4.	Может ли функция F(p) =	быть изображением?

5.Может ли функция F(p) = tgp быть изображением?

6.Линейной комбинацией каких функций является оригинал f(t),

если его изображение F(p) =

Линейной комбинацией каких функций является оригинал f(t),

если его изображение F(p) =

Линейной комбинацией каких функций является оригинал f(t),

если его изображение F(p) =

Найти изображение функции f(t) = 7 +

–

10.

Если f(t)

, то

f(t)

11.

Если f(t)

, то

f(t) ?

12.

Найти изображение f(3t), если f(t)

13.

Если f(t)

то f(

) ?

14.

Найти изображение функции f(t) = ∫

sin 2

15.

Найти изображение функции f(t) = t

16.

Найти изображение функции f(t) =

(t – 3).

17.

Найти изображение функции f(t) =

18.

Найти оригинал для функции F(p) =

19.

Найти оригинал для функции F(p) =

20.

Если f(t)

, то t

21.

Найти изображение функции t

f(t)

22.

Найти изображение свертки

(t – 1) .

23.

Если 1 f(t) = sint, то f(t) = ?

24.

Если 3

f(t) = 2

, то f(t) = ?

25.

Если

f(t) =

t, то чему равно изображение этой свертки?

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Взадании № 1 надо найти изображение F(p) данной функцииоригинала f(t), используя сформулированные выше свойства.

Взадании № 2 надо по изображению F(p) восстановить оригинал f(t).

Взадании № 3 надо решить задачу Коши для данного дифференциального уравнения или для системы дифференциальных уравнений.

Взадании № 4 надо найти решение интегрального уравнения.

Вариант 1
№ 1.	f(t) = 3			+ 4t sin2t – 5; F(p) = ?;
№ 2.	F(p) =			+ 3		; f(t) = ?;
№ 2.	F(p) =			+ 3		; f(t) = ?;
№ 3.	– 4	= t	; x(0) = –2;			(0) = 0;
№ 4.	2y(t) + ∫				= 1 + t.

Вариант 2

№1. f(t) =

№2. F(p) =

№ 3.	4	– 4
№ 4.	∫
Вариант 3
			t,
№ 1.	f t
№ 1.	f t
			0,
	F p
	F p		?
№ 2.	F(p) =
№ 3.	х 2 y
№ 3.		y
	2x	y
№ 4.	4y(t) – 2∫

	+ 2t	;	F(p) = ?;
; f(t) = ?;
+ x =	;	x(0) = 0;	(0) = 1;

d	= t .

если t 0,1 , причем f t периодическая функция,

если t 1, 4				период Т 4;
			; f(t) = ?;
2t;			x 0 1;

	t
e	t	;	y 0 0;
e		;	y 0 0;

			=	sin 4t.
			=	sin 4t.

Вариант 4
№ 1.	f(t) =	+ 4sin(t – 1)			+ 3	; F(p) = ?;
№ 2.	F(p) =		+		; f(t) = ?;
№ 2.	F(p) =		+		; f(t) = ?;
№ 3.	+ 6	+ 13x =		; x(0) = 0; (0) = 2;
№ 4.	cos t + ∫				.

Вариант 5

№ 1. f(t) = 2

+ 5

; F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

–

; f(t) = ?;

№ 3.

+ 4x = 3t;

x(0) = 2;

(0) = –1;

№ 4. 2t + ∫

= y(t).

Вариант 6

№ 1. f(t) = 3 sin 2t

– 5t cos 3t;

F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

– 5

+ 6x = 2 sin 2t;

x(0) = 0;

(0) = –2;

№ 4.

∫

= t

Вариант 7

№ 1.

f(t) = 2

+ 5sin(2t – 1)

);

F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

+ 2

– 3x

= 2

; x(0) = –1;

(0) = 0;

№ 4.

3∫

= .

Вариант 8

, если t 0,2 , причем f t периодическая функция,

№ 1.

f t

если t 2,3

период Т 3;

F p ?

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

– 2x = 1;

x(0) = –3;

(0) = 1;

№ 4.

∫

Вариант 9

№ 1.

Записать свертку функций f(t) =

cost и g(t) = и найти ее

изображение F(p);

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

– 2

– 3x =

; x(0) = 0;

(0) = –2;

№ 4. cos t + ∫

Вариант 10

№ 1.

f(t) = sin 2t

+ cos(t – 2)

(t – 2); F(p) = ?;

№ 2. F(p) = +

	2х 4 y e2t ;
№ 3.
№ 3.			;
	x 2 y e	2t	;
		2t

№ 4.	2y(t) + ∫

; f(t) = ?;

x 0 1;y 0 0;

= cos 2t.

Вариант 11

№ 1. f(t) = 3cos 2t

– 5t

;

F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

+ 6 + 9x = 2cos 3t;

x(0) = 0;

(0) = –2;

№ 4.

∫

= 2

+ ∫

Вариант 12

№ 1. Записать свертку функций

f(t) и g(t) и найти изображение F(p)

этой свертки, если f(t) = t

;

g(t) =

;

№ 2.

F(p) =

;

f(t) =?;

№ 3.

– 8 + 16x = t

; x(0) = 1;

(0) = –1;

№ 4. t + ∫

+ 2y(t) = 0.

Вариант 13

№ 1.

f(t) = (

+ 3)

; F(p) = ?;

№ 2.

F(p) =

–

;

f(t) =

№ 3.

4х y t;

x y 2;

x 0	2;


y 0 0;

№ 4.

∫

+ sin 2t

=∫

Вариант 14

№ 1. f(t) = 5(t – 1)

+ 2 cos2(t – 1)

; F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

9 + 6

+ x =

;

x(0) = 0;

(0) = –3;

№ 4. 4∫

= y(t) + 3 .

Вариант 15

№ 1.

f(t) = 2(t – 2)

; F(p) = ?;

№ 2.

F(p) =

;

f(t) = ?;

№ 3.	– 4 – 5x = (2t + 1)					; x(0) = –1; (0) = 0;
№ 4.	2∫			+ ∫		=	t	.
Вариант 16				если t 0,1 ,
		t,		если t 0,1 ,		причем	f	t периодическая функция,
№ 1.
№ 1.	f t			если t 1,3				период Т 3;
		0,		если t 1,3				период Т 3;


	F p ?
№ 2. F(p) =					; f(t) = ?;
№ 2. F(p) =					; f(t) = ?;
№ 3.	+ 3		+ 4x = 3cos 2t;			x(0) = 0;		(0) = 2;
№ 4.	2y(t) – 3∫			y(t –		= sin 2t.

Вариант 17
№ 1. f(t) = 3		+ 2t				; F(p) = ?;
№ 2. F(p) =			; f(t) = ?;
№ 2. F(p) =			; f(t) = ?;
№ 3.	– 3	– 4x = 2t			;	x(0) = –1	(0) = 0;
№ 4.	∫				= 2t	sin t + 3 .
Вариант 18
№ 1. Записать свертку функций f(t) = sin 3t								и g(t) = 4 и найти
изображение F(p) этой свертки;
№ 2. F(p) =				;	f(t) = ?;
№ 2. F(p) =				;	f(t) = ?;
№ 3.	– 5	+ 6x = 2cos 2t;				x(0) = –1;	(0) = 1;
№ 4.	∫	+ 3∫				= 2t.

Вариант 19

№ 1. f(t) = 2 sin 3t № 2. F(p) =

х 2 y 2t;

№ 3.

x 4 y 3;

№ 4. ∫

+ 4 (1 – t)	; F(p) = ?;
; f(t) =	?;
x 0 0;


y 0 1;

∫	= sin 2t.

Вариант 20
№ 1.	f(t) = 3t			+ 5; F(p) = ?;
№ 2.	F(p) =		+		;	f(t) = ?;

№ 3.	+ 5	– 6x = 2t		;		x(0) = 1; (0) = 0;
№ 4.	3y(t) + ∫		y(		= 2(t + 1) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
05.03.20216.51 Mб51Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа (2016).cpio
#
16.06.2020740.95 Кб106Красовская Т. Ф. Операционное исчисление.pdf
#
10.09.201931.63 Mб8502Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1.pdf
#
17.06.2020429.79 Кб121Фарфоровская Ю. Б. Математика. Дискретное и быстрое преобразование Фурье.pdf