Графический метод решения задач линейного программирования с п переменными

Графическим методом можно решить задачи линейного программирования, имеющие каноническую форму и удовлетворяющие условию n-r ≤ 2, где п—число неизвестных системы; r — ранг системы векторов-условий (число линейно независимых уравнений системы).

Если уравнения системы ограничений линейно независимы, то r = т, где т — число уравнений.

Рассмотрим алгоритм метода на конкретном примере.

Пример 3. Решить графическим методом задачу

F(X)=x₁+x₂+5x₃+3x₄→ max,

Решение. Проверяем, применим ли графический метод при решении данной задачи. Нетрудно видеть, что любые два из векторов-условий, например линейно независимы, так как их координаты непропорциональны. Поэтому ранг системы векторов-условий r=2. Находим п- r= 4-2 = 2 ≤ 2. Следовательно, метод применим.

Приведем систему уравнений-ограничений к равносильной, с помощью линейных преобразований, предварительно записав её в матричной форме: .

Таким образом, получили систему: .

Выразим переменные х₁ и х₂: х₂=4-2х₃- х₄

х₁=9-2х₂ -3х₃-3х₄=9-2(4-2х₃- х₄)-3х₃-3х₄=9-8+4х₃+2х₄ -3х₃-3х₄=1+х₃- х₄

Т.к. х₁≥0 и х₂≥0, то систему уравнений мы записываем в виде системы неравенств: .

В результате получим эквивалентную задачу линейного программирования с двумя переменными, которая решается графическим методом

F(X)= 1+х₃- х₄+4-2х₃- х₄+5х₃+3х₄=5+4х₃+ х₄ → max

, х₃≥0, х₄≥0.

Изобразим на плоскости систему координат Ох₁х₂ и построим граничные прямые области допустимых решений. Находим оптимальное решение эквивалентной задачи и соответствующее ему максимальное значение целевой функции: С(2,0), F(C)=5+4·2+0=13.

И спользуем систему ограничений исходной задачи, приведенную к каноническому виду, и оптимальное решение задачи с двумя переменными для нахождения оптимального решения исходной задачи:

Рисунок 6

х₂=4-2х₃- х₄=4-2·2-0=0, х₁=1+х₃- х₄=1+2-0=3.

Следовательно, X=(3,0,2,0); F(X)=3+0+5·2+3·0=13.

Ответ: max F(X)= 13, при X=(3,0,2,0) .

Задачи для самостоятельного решения

Найти максимум функции F при заданных ограничениях:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

Найти минимум функции F при заданных ограничениях:

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14.

Ответы: 1. F_max=4; 2. F_max=∞; 3. F_max=22/3; 4. решений нет; 5. F_max=∞; 6. F_max=37; 7. F_max=6; 8. F_min=∞; 9. F_min=-1; 10. решений нет; 11. F_min=8/3; 12. F_min=300; 13. F_min=9; 14. F_min=1.

1.3. Основные положения о решении злп

Утверждение 1. Решением системы ограничений ЗЛП (если он совместна) является выпуклый многогранник (на плоскости многоугольник).

Утверждение 2. Целевая функция достигает оптимальное решение хотя бы в одной угловой точке многогранника решений (если он ограниченный).

Утверждение 3. Если многогранник решений неограничен в направлении градиента целевой функции, то f_max = +∞, если в противоположном направлении, то f_min = -∞.

Утверждение 4. Точка X является угловой точкой многогранника тогда и только тогда, когда она является базисным решением системы ограничений ЗЛП.

Из четвертого утверждения следует, что для решения ЗЛП можно простым перебором из всех базисных решений выбрать то, в котором целевая функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Это и будет решением задачи. Любая система уравнений имеет конечное число базисных решений, равное , где п — число неизвестных, r — ранг системы векторов условий, но с ростом n число базисных решений резко растет. Так, например, если п = 8, a r = 3, то число базисных решений N≤ = 56.

Базисные решения, координаты которых удовлетворяют условию неотрицательности, являются так называемыми опорными. Опорным решением задачи линейного программирования называется Х=( х₁₀ , х₂₀ , …, х_т0 ,0, …, 0), для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам А₁, А₂, ..., А_т, линейно независимы.

Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга r системы векторов условий (т.е. числа линейно независимых уравнений системы ограничений). В дальнейшем будем считать, что система ограничений состоит из линейно независимых уравнений, т.е. т = r.

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно т, то оно (решение) называется невырожденным, в противном случае (меньше т) — вырожденным.

Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, в состав которого входят векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного решения.