Каноническая форма задачи линейного программирования

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной или матричной форме записи.

1. Каноническая задача линейного программирования в координатной записи имеет вид

F(X) = с₁ х₁ + с₂ х₂ + ... + с_п х_п→max (min),

Данную задачу можно записать, используя знак суммирования:

max (min),

i=1, 2, ..., m,

2. Каноническая задача линейного программирования в векторной записи имеет вид

F(X)=C·X → max (min),

A₁ x₁+ A₂ x₂+…+ A_n x_n=A₀ ,

X ≥ θ.

В данном случае введены векторы

Х=(х₁, х₂, …., , х_n), С=(с₁, с₂,…., с_n),

θ =(0,0,…,0).

Здесь C·X ― скалярное произведение векторов C и X.

3. Каноническая задача линейного программирования в матричной записи имеет вид

F(X) = CX → max (min),

AX = A₀ , X≥θ,

где

Здесь А ― матрица коэффициентов системы уравнений, Х ― матрица-столбец переменных задачи, А_о — матрица-столбец правых частей системы ограничений.

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными, которые в матричной записи имеют вид

F(X) = CX→ max, или F(X) = CX→ min,

AX ≤A₀ , X≥θ AX ≥A₀ , X≥θ.

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако при со­ставлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формируются в системы неравенств, поэтому необходимо уметь переходить от системы неравенств к системе уравнений. Это может быть сделано следующим образом [5].

Возьмем, например, линейное неравенство а₁ х₁ + а₂ х₂ + ... + а_п х_п ≤ b и прибавим к его левой части некоторую величину х_п+1, такую, чтобы неравенство превратилось в равенство а₁ х₁+ а₂ х₂+ ... +а_п х_п+ х_п+1 =b, где х_п+1 =b-а₁ х₁-а₂ х₂ - ... - а_п х_п. Неотрицательная переменная х_n+1≥0 называется дополнительной переменной.

Следующая теорема дает основание для возможности такого преобразования.

Теорема 1. Каждому решению β=(β₁, β₂, … β_n) неравенства а₁х₁+а₂х₂+... + а_п х_п≤ b соответствует единственное решение =(β₁, β₂, … β_{n ,} β_n+1) уравнения а₁х₁+а₂х₂+ ...+а_пх_п+х_п+1=b, и неравенства х_n+1≥ 0, и, наоборот, каждому решению уравнения и неравенства соответствует единственное решение β неравенства.

Доказательство. Пусть β=(β₁, β₂, … β_n) — решение неравенства а₁х₁+а₂ х₂+ ... + а_п х_п≤b. Тогда а₁β₁+ а₂β₂+...+а_пβ_п≤b или 0≤b-(а₁β₁+а₂β₂+.. + +а_пβ_п)=β_n+1.

Подставив в уравнение вместо переменных значения β₁, β₂, … β_{n ,} β_n+1, получим:

а₁β₁+а₂β₂+...+а_пβ_п+β_n+1=а₁β₁+а₂β₂+...+а_пβ_п+b(а₁β₁+а₂β₂+...+а_пβ_п)= b.

Таким образом, решение удовлетворяет уравнению и неравенству. Значит, доказана первая часть теоремы. Аналогично доказывается обратное.

Например, если в задаче использования ресурсов в левую часть каждого уравнения системы ограничений добавить положительную переменную х_п+1, i=1,2, ..., m, то получится система уравнений-ограничений

В задаче составления рациона питания система ограничений - неравенств имеет вид

В этом случае система уравнений-ограничений получится, если в левой части каждого неравенства вычесть соответствующую неотрицательную дополнительную переменную

Полученная таким образом система уравнений-ограничений вместе с условиями неотрицательности переменных, т.е. х_j ≥ 0, j = 1, 2, ...,n , и целевой функцией является канонической формой записи задачи линейного программирования.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значение.