Минимизация сети

Задача минимизации сети состоит в нахождении ребер, соединяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммарную длину (рис. 47).

Рисунок 47

На ребрах, соединяющих узлы 1, 2, 3, указаны длины. Узел 3 соединен с узлами 1 и 2 минимальной длиной 4 + 6 = 10. Если соединить узлы 1 и 2, то возникает цикл и получающаяся, сеть не будет минимальной. Отсутствие циклов в минимальной сети дало ей название "минимальное дерево-остов".

Алгоритм решения

Начнем с любого узла и соединим его с ближайшим узлом сети. Соединенные два узла образуют связное множество, а остальные — несвязное. Далее в несвязном множестве выбе­рем узел, который расположен ближе других к любому из узлов связного множества. Скорректируем связное и несвязное множества и будем повторять процесс до тех пор, пока в связное множество не попадут все узлы сети. В случае одинаково удаленных узлов выберем любой из них, что указывает на неодно­значность (альтернативность) "минимального дерева-остова".

Альтернативные соединения

Пример 47. Телевизионная фирма планирует создание кабельной сети для обслуживания 5 районов-новостроек. Числа на ребрах указывают длину кабеля (рис. 48а). Узел 1 — телевизионный центр. Отсутствие ребра между двумя узлами означает, что соединение соответствующих новостроек либо связано с большими затратами, либо невозможно.

б)

Рисунок 48

Найти такое соединение кабелем районов-новостроек, чтобы длина его была минимальной.

Решение. Минимальная длина кабеля: 1 + 3+4+3 + 5 = 16 (рис. б).

Пример 48. На рис. 49 указаны длины коммуникаций, связывающих 9 установок по добыче газа в открытом море с расположенным на берегу приемным пунктом. Поскольку скважина 1 расположена ближе всех к берегу, она оснащена необходимым оборудованием для перекачки газа, идущего с остальных скважин в приемный пункт.

Построить сеть трубопровода, соединяющего все скважины с приемным пунктом и имеющего минимальную общую длину труб.

Рисунок 49

Рисунок 50

Решение. Минимальная длина труб: 5 + 6 + 4 + 3 + 7 + 5 + 6 + 5 = 41 (рис. 50).

Нахождение кратчайшего пути

Задача состоит в нахождении связанных между собой дорог на транспортной сети, которые в совокупности имеют минимальную длину от исходного пункта до пункта назначения.

Введем обозначения:

d_ij — расстояние на сети между смежными узлами i и j;

U_j — кратчайшее расстояние между узлами i и j, U₁ = 0.

Формула для вычисления U_j

Из формулы следует, что кратчайшее расстояние U_j до узла j можно вычислить лишь после того, как определено кратчайшее расстояние до каждого предыдущего узла i, соединенного дугой с узлом j. Процедура завершается, когда получено U_i последнего звена.

Определить кратчайшее расстояние между узлами 1 и 7 (рис. 51).

Рисунок 51

Решение. Найдем минимальные расстояния:

U₁=0,

U₂ = U₁ + d₁₂ = 0 + 2 = 2,

U₃ = U₁ + d₁₃ = 0 + 4 = 4,

U₄ = min{U₁+ d₁₄; U₂ + d₂₄; U₃ + d₃₄} = min{0 + 10; 2 + 11; 4 + 3} = 7,

U₅ = min {U₂ + d₂₅; U₄ + d₄₅} = min{2 + 5; 7 + 8} = 7,

U₆ = min{ U₃+ d₃₆; U₄ + d₄₆} = min{4 + 1; 7 + 7} = 5,

U₇ = min{U₅ + d₅₇, U₆ + d₆₇}= min{7 + 6; 5 + 9} = 13.

Минимальное расстояние между узлами 1 и 7 равно 13, а соответствующий маршрут: 1-2-5-7.