Нахождение рациональных затрат при строительстве трубопроводов и транспортных артерий

Требуется проложить путь (трубопровод, шоссе) между двумя пунктами А и В таким образом, чтобы суммарные затраты на его сооружение были минимальные.

Решение. Разделим расстояние между пунктами А и В на шаги (отрезки). На каждом шаге можем двигаться либо строго на восток (по оси X), либо строго на север (по оси У). Тогда путь от А в В представляет ступенчатую ломаную линию, отрезки которой параллельны одной из координатных осей. Затраты на сооружение каждого из отрезков известны в млн р.

Таблица 28 - Исходные данные задачи

У (север) В

	13		9		9		10
11		12		12		13		14
	8		14		9		14
13		15		10		10		8
	12		11		16		10
10		13		12		9		12
	14		13		10		14

А X (восток)

Разделим расстояние от А до В в восточном направлении на 4 части, в северном — на 3 части. Путь можно рассматри­вать как управляемую систему, перемещающуюся под влиянием управления из начального состояния А в конечное В. Состояние этой системы перед началом каждого шага будет характеризоваться двумя целочисленными координатами х и у. Для каждого из состояний системы (узловой точки) найдем условное оптимальное управление. Оно выбирается так, чтобы стоимость всех оставшихся шагов до конца процесса была минимальна. Процедуру условной оптимизации проводим в обратном направлении, т.е. от точки В к точке А. Найдем условную оптимизацию последнего шага:

Рисунок 30

В точку В можно попасть из В₁ или В₂. В узлах запишем стоимость пути. Стрелкой покажем минимальный путь. Рассмотрим предпоследний шаг.

Рисунок 31

Для точки В₃ условное управление — по оси X, а для точки В₅ — по оси У. Управление для точки В₄ выбираем как min(13 + 10,14 + 14) = min(23,28) = 23, т.е. по оси У.

Условную оптимизацию проводим для всех остальных узловых точек:

Рисунок 32

Получим

_опт= (с, с, в, с, в, в, в),

где с — север, в —восток.

Минимальные затраты составляют

10 + 13 + 8 + 12 + 9 + 9 + 10 = 71 млн р.

Если решать задачу исходя из оптимальности на каждом этапе, то решение будет следующим:

=(с, в, в, с, в, с, в). Затраты составят 10 + 12 + 11 + 10 + 9 + 13 + 10 = 75 > 71.

Ответ. Прокладывать путь целесообразно по схеме: с, с, в, с, в, в, в, при этом затраты будут минимальные и составят 71 млн р.