Сведение экономико-математической модели дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
Задачу дробно-линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования и решить симплексным методом.
Обозначим
при условии
и
введем новые переменные yj=y0
xj.
Тогда задача примет вид
L=
(63)
при ограничениях:
(64)
yj≥0, y0>0, i=1,…,m; j=1,…, n.
После нахождения оптимального решения полученной задачи, используя вышеуказанные соотношения, найдем оптимальное решение исходной задачи дробно-линейного программирования.
Пример 43. Дана задача дробно-линейного программирования
L =(2x1-x2)/(x1+2x2+1)→max
при ограничениях:
Решение. Обозначим: х1 + 2х2 + 1 = 1/у0, у0> 0, тогда L = 2x1 у0 - х2у0.
Обозначим: x1y0 = y1, x2y0 = у2, х3у0 = у3, х4у0 = у4. Преобразуем систему ограничений, умножив обе части всех ограничений на у0, и перейдем к переменным у0, y1, у2, у3, у4. Задача примет вид
L = 2y1 - у2 → max
при ограничениях:
yj≥0, y0>0, j=1,…, 4.
Таблица 23 - Симплексная таблица по условиям задачи
БП |
сi |
bi |
0 |
2 |
-1 |
0 |
0 |
|
|
|
y0 |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y3 |
0 |
0 |
-2 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
y4 |
0 |
0 |
- 6 |
2 |
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
y3 |
0 |
2 |
0 |
3 |
2 |
1 |
0 |
y4 |
0 |
6 |
0 |
8 |
13 |
0 |
1 |
y 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
Δj |
0 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
0 |
|
y1 |
2 |
2/3 |
0 |
1 |
2/3 |
1/3 |
0 |
y4 |
0 |
2/3 |
0 |
0 |
2/3 |
-8/3 |
1 |
y 0 |
0 |
1/3 |
1 |
0 |
4/3 |
-1/3 |
0 |
Δj |
4/3 |
0 |
0 |
7/3 |
2/3 |
0 |
|
Получили задачу линейного программирования, решаем её симплексным методом. Получим уопт = (1/3,2/3,0,0,2/3), тогда
Ответ. хопт = (2,0,0,2), Lmax = 4/3.