Алгоритм решения.

1. Находим область допустимых решений.

2. Определяем угловой коэффициент к и устанавливаем направление поворота целевой функции.

3. Находим точку max(min) целевой функции или устанавливаем неразрешимость задачи.

Экономическая интерпретация задач дробно-линейного программирования

Математическая модель задачи дробно-линейного программирования может быть использована для определения рентабельности затрат на производство изделий, рентабельности продаж, затрат в расчете на рубль выпускаемой продукции, себестоимости изделий [21].

Обозначим: r_j — прибыль предприятия от реализации еди­ницы изделия j-гo вида;

x_j — количество выпущенной продукции j-гo вида;

s_j — цена единицы продукции j-гo вида;

c_j — себестоимость производства единицы изделия j-гo вида;

d_j — затраты на производство одного изделия j-гo вида.

Задача рентабельности (Р₃) затрат на производство изделий имеет вид

(59)

Задача рентабельности (Р_п) продаж имеет вид

(60)

Задача определения затрат (З_р) в расчете на рубль товарной продукции записывается в виде

З_р= (61)

Задача нахождения себестоимости изделия записывается как

(62)

Указанные математические модели имеют системы ограничений в зависимости от условий задачи.

Применение дробно-линейного программирования для определения себестоимости изделий.

Рассмотрим использование дробно-линейного программирования для нахождении себестоимости изделий.

Пример 42. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на каждом из типов оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты, связанные с производством одного изделия, даны в таблице.

Оборудование I и III типов предприятие может использовать не более 26 и 39 ч соответственно, оборудование II типа целесообразно использовать не менее 4 ч.

Определить, сколько изделий каждого вида следует изготовить предприятию, чтобы средняя себестоимость одного изделия была минимальной.

Таблица 22 - Затраты времени на обработку изделий

Тип оборудования	Затраты времени на обработку одного изделия, ч
	А	В
I II III Затраты на производство одного изделия, тыс. р.	2 1 12 2	8 1 3 3

Решение. Составим математическую модель задачи. Пусть х₁ — количество изделий вида А, которое следует изготовить предприятию, х₂ — количество изделий вида В. Общие затраты на их производство составят (2x₁ + 3х₂) тыс. р., а средняя себестоимость одного изделия будет равна (2х₁+ 3х₂)/(х₁ + х₂). Математическая модель задачи примет вид

L = (2х₁ + 3х₂)/(х₁ + х₂)→ min

Рисунок 28

при ограничениях:

Δ АВС область допустимых решений.

Найдем х₂:

L = (2х₁+3х₂)/(х₁+х₂), 2x₁ + 3x₂ = Lx₁ + Lx₂, x₂(3-L) = x₁(L-2),

x₂ = x₁(L - 2)/(3 — L) = kx₁.

Угловой коэффициент прямой равен к = (L — 2)/(3 — l), тогда

Так как dk/dL > 0, то функция к = (L — 2)/(3 — L) возрастает. Это соответствует вращению прямой против часовой стрелки. Следовательно, в точке С целевая функция будет иметь наименьшее значение (глобальный минимум). Найдем координаты точки С. Решая систему

получим С(3,1), х_опт = (3,1), L = 9/4.

Следовательно, предприятию следует выпускать 3 изделия вида А и 1 изделие вида В. При этом средняя себестоимость одного изделия будет минимальной и равной 2,25 тыс. р.