Задача с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений

Пример 38. Найти глобальные экстремумы функции

L =( х₁- 2)² +(х₂ - 1)²

при ограничениях: х₁²+х₂²≤16, х_1,х₂≥0.

Решение. Областью допустимых решений является окружность с радиусом 4, расположенная в первой четверти. Линиями уровня будут окружности с центром в точке О₁(2,1). Глобальный минимум достигается в точке О₁. Глобальный максимум — в точке А(0,4), при этом

L(A) = (0 - 2)² + (4 - I)² = 4 + 9 = 13.

Рисунок 24

Ответ. Глобальный минимум, равный нулю, достигается в точке O₁(2,1), глобальный максимум, равный 13, находится в точке А(0,4).

Пример 39. Найти глобальные экстремумы L =х₁²+х₂² при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений не является выпуклой и состоит из двух частей. Линиями уровня являются окружности с центром в точке О(0,0).

Рисунок 25

Найдем координаты точек А и В, решая систему

Получим А(1,4), В(4,1). В этих точках функция имеет глобальные минимумы, равные 17. Найдем координаты точек D и Е, решая системы

откуда получаем D(2/3,6) и L(D) = 328/9, Е(7,4/7) и L(E) = 2417/49.

Ответ. Целевая функция имеет два глобальных минимума, равных 17, в точках А(1,4) и В(4, 1), глобальный максимум, равный 2417/49, достигается в точке Е(7,4/7).

5.2. Метод множителей Лагранжа. Постановка задачи

Дана задача нелинейного программирования L=f(x₁, х₂,..., х_п) →max(min) при ограничениях:

. (51)

Предположим, что функции f(x₁, х₂,..., х_п) и непрерывны вместе со своими первыми частными производными.

Ограничения заданы в виде уравнений, поэтому для решения задачи воспользуемся методом отыскания условного экстремума функции нескольких переменных.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа

(52)

где λ_i — множители Лагранжа.

Затем определяются частные производные:

Приравняв к нулю частные производные, получим систему

(53)

Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Следует отметить, что условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции. Применение метода бывает оправданным, когда заранее предполагается существование глобального экстремума, совпадающего с единственным локальным максимумом или минимумом целевой функции.

Пример 40. Найти точку условного экстремума функции

L = х₁х₂ + х₂х₃

при ограничениях:

Решение. Составим функцию Лагранжа

.

Найдем частные производные функции Лагранжа по переменным х₁, х₂, х₃, λ₁, λ₂. Приравняв к нулю полученные выражения, решим систему

Откуда λ₁= —х₂, λ₂ = — х₂/2, х₁ = —2, х₂ = —4, х₃ = 4, L = -8.

Определим характер экстремума, изменяя полученные значения переменных. Измененные значения должны удовлетворять заданной системе ограничений. Возьмем х₁ > —2, например x₁=—1, тогда из системы ограничений получим х₂=—3, х₃ = 7/2, L = —15/2. Возьмем х₁< —2, например х₁= —3, тогда получим х₂ = —5, х₃=9/2, L = —15/2. Следовательно, L = — 8 — минимальное значение функции.

Ответ. Точка экстремума х₁ = —2, х₂ = —4, х₃ = 4, при этом минимальное значение функции L =— 8.