Глава IV. Целочисленное программирование

4.1 Общая формулировка задачи целочисленного программирования Общая формулировка задачи

Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции (выпуск станков, телевизоров, автомобилей и т.д.).

В общем виде математическая модель задачи целочисленного программирования имеет вид [8]

(48)

при ограничениях: х_j ≥0 — целое, i = 1, т, j = 1, п. (49)

Оптимальное решение задачи часто не является целочисленным. Его можно округлить до ближайших целых чисел. Однако такое округление может дать решение, не лучшее среди целочисленных решений, или привести к решению, не удовлетворяющему системе ограничений. Поэтому для нахождения целочисленного решения нужен особый алгоритм. Такой алгоритм предложен Гомори и состоит в следующем. Симплексным методом находят оптимальное решение задачи. Если решение целочисленное, то задача решена. Если же оно содержит хотя бы одну дробную координату, то накладывают дополнительное ограничение по целочисленности и вычисления продолжают до получения нового решения. Если и оно является нецелочисленным, то вновь накладывают дополнительное ограничение по целочисленности. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет получено целочисленное решение или показано, что задача не имеет целочисленного решения.

Пусть получено оптимальное решение Х_опт=(f₁,f₂,…,f_п, 0,...,0), которое не является целочисленным, тогда последний шаг симплексной таблицы имеет следующий вид:

х₁ 1 0 ... 0 ... 0 h₁, _r+1 … h₁,_п f₁,

х₂ 0 1 ... 0 ... 0 h₂, _r+1 ... h₂,_n f₂,

……………………………………………

х_i 0 0 ... 1 ... 0 h_i, _r+1 ... h_i,_n f_i,

х_r 0 0 ... 0 ... 1 h_r, _r+1 ... h_r,_n f_i,

где r — ранг системы ограничений; h_i, _r+1 — коэффициент симплексной таблицы i-й строки, (r + 1)-го столбца; f_i — свободный член i-й строки.

Пусть f_i и хотя бы одно h_ij (j = r + 1,n ; i= 1, r) — дробные числа.

Обозначим через [f_i ] и [h_ij] целые части чисел f_i и h_ij .

Определение 14. Целой частью числа f_i называют наибольшее целое число, не превосходящее числа f_i .

Дробную часть чисел f_i и h_ij обозначим {f_i} и {h_ij}, она определяется следующим образом:

{f_i}= f_i -[f_i ], {h_ij}= h_ij - [h_ij].

Пример 34.

Если f_i и хотя бы одно значение h_ij дробны, то с учетом введенных обозначений целых и дробных чисел дополнительное ограничение по целочисленности примет вид

{h_i,r+l} x_r+1 + {h_i,r+2} х_r+2 +…+ {h_i,п} х_п ≥ {f_i}.

Примечания. 1) Если f_i — дробное число, а все h_ij — целые числа, то задача линейного программирования не имеет целочисленного решения.

2) Ограничение целочисленности может быть наложено не на все переменные, а лишь на их часть. В этом случае задача является частично целочисленной.

Графический метод решения задач

При наличии в задаче линейного программирования двух переменных, а в системе ограничений — неравенств она может быть решена графическим методом [14].

В системе координат Х₁ОХ₂ находят область допустимых решений, строят нормальный вектор и линию уровня. Перемещая линию уровня по направлению для задач на максимум, находим наиболее удаленную от начала координат точку и ее координаты. В том случае, когда координаты этой точки нецелочисленные, в области допустимых решений строят целочисленную решетку и находят на ней такие целые числа, которые удовлетворяют системе ограничений и при которых значение целевой функции наиболее близко к экстремальному нецелочисленному решению. Координаты такой вершины и являются целочисленным решением. Аналогично решается задача на минимум.