Потоки событий. Простейший поток.

События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек t₁, t₂ , …, t_к нa числовой оси (оси времени).

0 t₁ t₂ t₃ t

События, образующие поток, сами по себе вероятностью не обладают: вероятностью обладают другие, производные от них события, например, такое: "на участок времени t попадают ровно два события".

Интенсивность потока - среднее число событий, приходящихся на единицу времени. Обозначение : λ.

Интенсивность потока может быть как постоянной (λ=const), так и переменной, зависящей от времени t. Поток событий называется стационарным, если вероятность появления того или иного числа событий за некоторое время t зависит только от величины t и не зависит от того_; где на оси ot расположен этот отрезок времени. Вероятностные характеристики таких потоков не зависят от времени, в частности, интенсивность λ = const.

Поток событий называется потоком без последствия, если вероятность появления какого-либо числа событий в данный отрезок времени не зависит от того, сколько событий появилось в другие отрезки времени, не пересекающиеся с данным.

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух или нескольких событий в малый отрезок времени мала по сравнению с вероятностью появления одного события, то есть события в потоке появляются практически по одному.

Потоки, являющиеся одновременно потоками стационарными, без последствий и ординарными, называются простейшими или стационарными пуассоновскими [9].

Если поток событий простейший, то вероятность Р_т(t) того, что на любой интервал времени t попадёт т событий, определяется формулой:

, где λ≥0 и равно интенсивности потока.

Пример 28. Поток донесений, поступающих в штаб, в некоторых условиях практически является простейшим с интенсивностью λ=0,8 донесение в час. Найти вероятность того, что в течение 5 часов:

1) не поступит ни одного донесения;

2) поступит два донесения;

3) поступят, по крайней мере, два донесений.

Решение.

Исходные данные: λ=0,8; t =5. Требуется определить: P₀, P₂ и Р_т ≥2.

По формуле (1) найдём :

;

;

.

Р_т≥2=1-(Р₀+Р₁)=1-(0,018+0,058)=0,924.

В подавляющем большинстве случаев, особенно в задачах прикладного характера, в теории массового обслуживания рассматриваются простейшие потоки. В дальнейшем, говоря о потоке событий, мы будем подразумевать простейший поток.

Граф состоянии. Размеченный граф состояний

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой - так называемым графом состояний: состояние системы изображается прямоугольником, в котором записаны обозначения состояний S₁, S₂, S₃, ,..., а возможные переходы из состояния в состояние - стрелками.

П остроим, например, граф состояний системы S, описанной в примере 27 пункта 3.1.2 (рисунок 16).

Рисунок 16

Стрелка, направленная из S₁ в S₂, означает переход в момент отказа первого узла.

Стрелка, направленная обратно из S₂ в S₁ - переход в момент окончания ремонта первого узла.

Остальные стрелки объясняются аналогично.

Предполагается, что узлы выходит из строя независимо друг oт друга, т.е. вероятность одновременного выхода двух узлов мала и ею пренебрегают. (Стрелка, ведущая из S₁ в S₄, отсутствует).

Пусть имеется некоторая система S с состояниями S_k (к =I,2,3,..., п), и переход системы из состояния S_i в состояние S_j происходит под действием простейших потоков событий (поток вызовов, поток отказов и т.д.). Итак, в системе происходит марковский процесс.

Обозначим λ_ij - интенсивности потока событий, переводящих систему S из состояния S_i в состояние S_j.

П роставим интенсивности потоков событий на графе состоянии. Получим так называемый размеченный граф состояний.

Рисунок 17

На рисунке 17 показан размеченный граф состояний для системы S с тремя состояниями S₁, S₂, S₃.

Из состояния S₁ в состояние S₂ система переходит под действием простейшего потока событий интенсивностью λ₁₂ из S₂ в S₁ под действием потока событий интенсивностью λ₂₁ и т .д.

Пример 29. Построим размеченный граф состояний для системы S примера 27 (пункт 3.1.2)

Напомним состояние системы:

S₁ - оба узла исправны;

S ₂- первый узел ремонтируется, второй исправный;

S ₃- второй узел ремонтируется, первый исправный;

S₄- оба узла ремонтируются.

Граф состояний этой системы мы уже построили (см. рис. 17)

Пусть t₁ и t₂ — среднее время безотказной работы первого и второго узлов соответственно.

T₁ и Т₂ - среднее время ремонта первого и второго узлов.

Интенсивность потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, будем вычислять, предполагая, что среднее время ремонта не зависит от того, ремонтируется ли один узел или оба сразу (это будет именно так, если ремонтом каждого узла будет занят отдельный специалист).

Найдем интенсивность всех потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.

S₁- S₂ - Этот переход совершается под действием потока отказов первого узла

S ₂ - S₁ - Этот период совершается под действием потока окончания ремонта первого узла

S₁ - S₃ - поток отказов второго узла

S ₃ - S₁ - поток окончания ремонта второго узла

S ₂- S₄- поток отказов второго узла ,

S₄ - S₂ - поток окончания ремонта второго узла

S ₃- S₄- поток отказов второго узла ,

S₄ - S₃ - поток окончания ремонта первого узла

На рисунке 18 получили размеченный граф состояний системы S.

Имея в своём распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель системы.