Глава III. Теория массового обслуживания

3.1. Марковский случайный процесс

Теория массового обслуживания применяется в тех экономических задачах, в которых решение определяется случайными факторами и обстоятельствами. То есть такими, которые могут принимать различные, заранее не известные значения.

Теория массового обслуживания дает возможность учесть эти случайности в процессах, связанных с потоками требований (заказов, обстоятельств) на обслуживание. Многие экономические ситуации связаны с процессами массового обслуживания покупателей. Например, в течение ограниченного времени необходимо обслужить покупателей магазинов, клиентов сферы обслуживания, принять заявки на ремонтные работы и выполнить по ним ремонт и т.п.

Обслуживаемые объекты называют каналами или аппаратами обслуживания. Требования (заказы) на обслуживание называют заявками.

Если при поступлении очередной заявки все имеющиеся каналы (аппараты) оказываются занятыми, то происходит сбой в обслуживании и начинает образовываться очередь. Поэтому теорию массового обслуживания называют также теорией очередей.

Задача о выборе решения условиях неопределённости

Итак, в самом общем случае показатели эффективности зависят от трёх факторов: W=W (λ,х, ξ).

Поставим следующую задачу.

При заданных условиях с учётом неизвестных факторов ξ найти такое решение x X, которое по возможности обеспечивает максимальные значения показателя эффективности W.

Это уже не чисто математическая задача. Наличие неопределённых факторов ξ переводит её в новое качество: она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределённости.

Пример 25. Проектируется система сооружений, обслуживающих район от паводков. Ни моменты их наступлений, ни размеры - заранее неизвестны.

Пример 26. Разрабатывается план развития предприятия, причём, неизвестно, смогут ли все партнёры устоять в конкурентной борьбе, каков будет в дальнейшем спрос на продукцию и т. д.

В рассмотренных примерах приходится проектировать объекты, несмотря на неопределенности.

Для принятия решения современная наука располагает рядом приёмов. Каким из них воспользоваться, зависит oт того, с какого вида неопределенностью мы в задаче сталкиваемся.

Наиболее благоприятным является случай, когда неизвестные факторы представляют собой обычные объекты изучения теории вероятностей - случайные величины (или случайные функции), вероятностные характеристики которых нам известны или в принципе могут быть получены к нужному сроку опыта.

Такие задачи исследования операций называют стохастическими, а присущую им неопределённость стохастической неопределённостью [17].

Не всегда удается построить простую математическую модель, позволяющую в аналитической форме найти интересующую нас функцию. Однако очень часто модель удается построить, когда исследуемая функция отражает Марковский случайный процесс.

Понятие о марковском процессе

Пусть имеется некоторая физическая система S состояние, которой изменяется с течением времени. Если состояние системы под действием случайных факторов изменяется случайным, непредвиденным образом, говорят, что в системе S протекает случайный процесс.

Определение 13. Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени t₀ (в настоящем) и не зависят от того, как система пришла в это состояние [3].

t ₀ t.

Например, пусть система S - боевая машина, находящаяся в данный момент времени в определённом техническом состоянии. Если в этой системе протекает Марковский процесс, то состояние боевой машины в будущем зависит от её настоящего состояния и не зависит от того, каким образом она пришла в это состояние.

На практике марковский процесс в чистом виде обычно не встречается, но нередко приходится иметь дело с процессами, для которых "предысторией" можно пренебречь, а, следовательно, считать их марковскими.

В исследовании операций большое значение имеют так называемые марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния S₁, S₂, ... , S_n можно заранее перечислить (перенумеровать) и переход системы из состояния в состояние происходит "скачком", практически мгновенно [12].

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее (т.е. переход может осуществляться в любой момент времени).

Пример 27. Техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Перечислим возможные состояния системы:

S₁- оба узла исправны.

S₂- первый узел ремонтируется, второй исправный,

S ₃- второй узел ремонтируется, первый исправный,

S₄ - оба узла ремонтируются.

Переход системы из состояния в состояние происходит практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или другого узла или окончания ремонта.

Итак, в устройстве S протекает марковский процесс с дискретными состояниями (S₁, S₂, S₃, S₄) и непрерывным временем.