Метод потенциалов

Широко распространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов. Этот метод позволяет упростить наиболее трудоемкую часть вычислений — нахождение оценок свободных клеток.

Теорема 12 (признак оптимальности опорного решения). Если допустимое решение X = (х_ij), i= 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., п транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы (числа) поставщиков и_i, i = 1, 2, ..,, т и потребителей v _j , j = 1, 2, ..., п, удовлетворяющие следующим условиям:

u_i+ v_j = c_ij при х_ij > 0 и u_i+ v_j ≤ c_ij при х_ij = 0.

Группа равенств u_i+ v_j = c_ij при х_ij > 0 используется как система уравнений для нахождения потенциалов. Нетрудно видеть, что эта система могла иметь несколько другой вид, например - u_i+ v_j = c_ij или u_i- v_j = c_ij , если перед тем, как записать двойственную задачу, все уравнения одной из групп уравнений исходной задачи умножить на (-1).

Данная система уравнений имеет т + п неизвестных и_i, i=1,2, ..., т и v_j, j= 1, 2, ..., п. Число уравнений системы, как и число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения, равно т + п — 1. Так как число неизвестных системы на единицу больше числа уравнений, то одной из них можно задать значение произвольно, а остальные найти из системы.

Группа неравенств u_i+ v_j ≤ c_ij при х_ij = 0 используется для проверки оптимальности опорного решения. Эти неравенства удобно записать в виде

Δ_ij =u_i+ v_j - c_ij ≤ 0 при х_ij = 0.

Числа Δ_ij называются оценками свободных клеток таблицы или векторов ― условий транспортной задачи, не входящих в базис опорного решения. В этом случае признак оптимальности можно сформулировать так же, как в симплексном методе (для задачи на минимум): опорное решение является оптимальным, если для всех векторов-условий (клеток таблицы) оценки неположительные.

Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются для улучшения опорного решения. С этой целью находят клетку (l, k) таблицы, соответствующую max{Δ_ij}= Δ_lk. Если Δ_lk ≤ 0, то решение оптимальное. Если же Δ _lk > 0, то для соответствующей клетки (l, k) строят цикл и улучшают решение, перераспределяя груз θ = по этому циклу.

Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом

До сих пор рассматривались транспортные задачи с правильным балансом. Однако на практике чаще встречаются задачи с неправильным балансом. Каковы особенности их решения?

1. Пусть суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запросы потребителей, т.е. > .

Очевидно, что в этом случае при составлении оптимального плана перевозок часть запасов поставщиков, равная b_n+1= - , останется не вывезенной. Поэтому в системе ограничений транспортной задачи первую группу уравнений следует заменить неравенствами , i=1,2, ..., т.

Вторая группа уравнений остается без изменения, так как запросы всех потребителей удовлетворяются полностью. Для приведения к канонической форме в неравенства вводят дополнительные переменные х_1(п+1), х_2(п+1),…, х_т(п+1), в результате первые т ограничений задачи принимают вид , i=1,2, ..., т.

В целевую функцию дополнительные переменные не входят (входят с нулевыми коэффициентами). Математическая модель задачи принимает вид

F(X) = + → min,

, i=1,2, ..., т,

, j= 1, 2, ..., п.

х_ij ≥ 0, i=1,2, ..., т, j= 1, 2, ..., п.

Запишем необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:

= .

Отсюда - - =b_n+1 .

Следовательно, чтобы задача в рассматриваемом случае имела решение, необходимо ввести фиктивного потребителя с запросами b_n+1, равными разности суммарных запасов поставщиков и запросов потребителей, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза с_i(n+1) = 0 i.

2. Аналогично в случае, когда суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запасы поставщиков, т.е. < , часть запросов потребителей, равная а_т+1= - , останется не удовлетворенной. Поэтому вторая группа уравнений системы ограничений транспортной задачи заменяется неравенствами , j= 1, 2, ..., п.

После введения дополнительных переменных х_(т+1)1, х_(т+1)2, ...,. х_(т+1)п в эти неравенства математическая модель задачи примет вид

F(X) = + → min,

, i=1,2, ..., т,

, j= 1, 2, ..., п.

х_ij ≥ 0, i=1,2, ..., т, j= 1, 2, ..., п.

Для того чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы

= = .

Отсюда = - - =а_т+1.

Следовательно, чтобы в этом случае задача имела решение, необходимо ввести фиктивного поставщика с запасами а_т+1, равными разно суммарным запросам потребителей и запасам поставщиков, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза с_(т+1)j = 0 j.

Необходимо отметить, что при составлении начального решения в последнюю очередь следует распределять запасы фиктивного поставщика и удовлетворить запросы фиктивного потребителя, несмотря на то что им соответствует наименьшая стоимость перевозок, равная нулю.