Математическая модель транспортной задачи

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются х_ij, i=1,2,...,m, j= 1, 2, ..., п — объемы перевозок от каждого i-го поставщика каждому j -му потребителю. Эти переменные можно записать виде матрицы перевозок:

.

Так как произведение с_ijх_ij определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j -му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны . По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция имеет вид:

F(X)= → min.

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из т уравнений описывает тот факт, что запасы всех т поставщиков вывозятся полностью:

, i =1, 2, ..., т.

Вторая группа из п уравнений выражает требование полностью удовлетворить запросы всех п потребителей:

, j= 1, 2,..., п.

Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок, математическую модель задачи можно записать так:

F(X) = → min,

, i=1, 2,..., т, , j=1, 2,..., п, х_ij ≥ 0, i =1,2,..., т, j=1,2,..., п.

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.

= .

Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель ― закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель — открытой.

Математическая формулировка транспортной задачи такова: найти переменные задачи Х=(х_ij ), i =1, 2, ..., т, j= 1, 2,..., п, удовлетворяющие системе ограничений, условиям неотрицательности и обеспечивающие минимум целевой функции. Математическая модель транспортной задачи может быть записана и векторном виде. Для этого рассмотрим матрицу А системы уравнений-ограничений задачи:

х₁₁ х₁₂ … х_1n x₂₁ x₂₂… x_2n …x_m1 x_m2…x_mn

Сверху над каждым столбцом матрицы указана переменная задачи, коэффициентами при которой являются элементы соответствующего столбца в уравнениях системы ограничений. Каждый столбец матрицы А, соответствующий переменной х_ij, является вектором-условием задачи и обозначается через А_ij . Каждый вектор имеет всего т + п координат, и только две из них, отличные от нуля, равны единице. Первая единица вектора А_ij, стоит на i-м месте, а вторая на (т +j)-м месте, т.е.

Номер

координаты

Обозначим через А₀ вектор ограничений и представим систему ограничений задачи в векторном виде. Тогда математическая модель транспортной задачи запишется следующим образом:

F(X) = → min,

,

х_ij ≥ 0, i =1,2,..., т, j=1,2,..., п.

Пример 12. Составить математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице:

b j ai	20	30	40
40	3	5	7
50	4	6	10

Решение. Введем переменные задачи (матрицу перевозок):

.

Запишем матрицу стоимостей:

.

Целевая функция задачи равна сумме произведений всех соответствующих элементов матриц С и X:

F(X) =3х₁₁+ 5х₁₂ + 7х₁₃ + 4х₂₁ + 6х₂₂ + 10х₂₃.

Данная функция, определяющая суммарные затраты на все перевозки, должна достигать минимального значения.

Составим систему ограничений задачи. Сумма всех перевозок, стоящих в первой строке матрицы X, должна равняться запасам 1-го поставщика, а сумма перевозок во второй строке матрицы X — запасам 2-го поставщика:

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 40, х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 50.

Это означает, что запасы поставщиков вывозятся полностью. Суммы перевозок, стоящих в каждом столбце матрицы X, должны быть равны запросам соответствующих потребителей:

х₁₁+ х₂₁ = 20,

х₁₂+ х₂₂ = 30,

х₁₃+ х₂₃ = 40.

Это означает, что запросы потребителей удовлетворяются полностью. Необходимо также учитывать, что перевозки не могут быть отрицательными:

х_ij ≥ 0, i =1,2,..., т, j=1,2,..., п.

Следовательно, математическая модель рассматриваемой задачи такова: найти переменные задачи, обеспечивающие минимум функции

F(X) =3х₁₁+ 5х₁₂ + 7х₁₃ + 4х₂₁ + 6х₂₂ + 10х₂₃

и удовлетворяющие системе ограничений

и условиям неотрицательности х_ij ≥ 0, i =1,2,..., т, j=1,2,..., п.