Задачи для самостоятельного решения

1. Составить и решить табличным симплексным методом задачу, двойственную следующей: максимизировать функцию F =x₁+ x₂ +x₃ при ограничениях

2. Симплексным методом найти максимум функции F =x₁+ x₂ при ограничениях

Составить двойственную задачу и решить её симплексным методом.

3. Найти максимум функции F =2x₁-3 x₂ при ограничениях

Решить задачу симплексным методом, затем составить двойственную задачу и решить ее геометрически.

4. Найти минимум функции F =2x₁+4 x₂ при ограничениях

Решить задачу геометрически, затем составить двойственную задачу и решить ее табличным симплексным методом.

5. Составить двойственную задачу и решить ее симплексным методом. Найти решение исходной задачи, не решая её, применив первую теорему двойственности.

F =x₁+2x₂→max

6. Составить двойственную задачу и решить исходную геометрическим методом. Найти решение двойственной задачи, не решая её, применив вторую теорему двойственности.

F =x₁+2x₂→min

Ответы: 1. Z _min = 4/3; 2. F _max = Z _min =9; 3. F _max =∞, двойственная задача не имеет решений; 4. F _min = Z _max =22; 5. F _max = Z _min==22/3, х^*₁=2/3, х^*₂=10/3; 6. F _min = =Z_max ==-4, у^*₁=0, у^*₂=0, у^*₃=2/3.

1.6. Транспортная задача линейного программирования

Под названием «транспортная задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Формулировка транспортной задачи

Однородный груз сосредоточен у т поставщиков в объемах a₁, a₂,..., а_т. Данный груз необходимо доставить п потребителям в объемах b₁, b₂, ..., b_n. Известны с_ij, i= 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., п — стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков будут вывезены полностью, запросы всех потребителей полностью удовлетворены и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.

Исходные данные транспортной задачи обычно записываются в таблице:

bj ai	b1	b2	…	bn
a1	с11	с12	…	с1n
a2	с21	с22	…	с2n
…	…	…	…	…
ат	ст1	ст2	…	стn

Исходные данные задачи могут быть представлены также в виде вектора запасов поставщиков А = (a₁, a₂, ..., а_т), вектора запросов потребителей В = (b₁, b₂, ..., b_n) и матрицы стоимостей

.

В транспортных задачах под поставщиками и потребителями понимаются различные промышленные и сельскохозяйственные предприятия, заводы, фабрики, склады, магазины и т.д. Однородными считаются грузы, которые могут быть перевезены одним видом транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход топлива и т.п.