Общие правила составления двойственных задач

При составлении двойственных задач используют следующие правила.

Правило 1. Во всех ограничениях исходной задачи свободные члены должны находиться в правой части, а члены с неизвестными — в левой.

Правило 2. Ограничения-неравенства исходной задачи должны быть записаны так, чтобы знаки неравенств у них были направлены в одну сторону.

Правило 3. Если знаки неравенств в ограничениях исходной задачи «≤», то целевая функция F(X) =c₀+ c₁x₁ + с₂х₂ + ... + с_пх_п должна максимизироваться, а если « ≥», то минимизироваться.

Правило 4. Каждому ограничению исходной задачи соответствует неизвестное в двойственной задаче; при этом неизвестное, отвечающее ограничению-неравенству, должно удовлетворять условию неотрицательности, а неизвестное, отвечающее ограничению-равенству, может быть любого знака.

Правило 5. Целевая функция двойственной задачи имеет вид

Z(Y) = c₀+ b₁y₁ + ... + b_my_m, где c₀ ―свободный член целевой функции F(X) исходной задачи; b₁, ..., b_т — свободные члены в ограничениях исходной задачи, при этом b_i ― свободный член именно того ограничения, которому соответствует неизвестная y_i; y₁, у₂, ..., у_т — неизвестные в двойственной задаче.

Правило 6. Целевая функция Z(Y) двойственной задачи должна оптимизироваться противоположным по сравнению с F(X) образом, т.е. если F(X)→ max, то Z(Y) → min, и если F(X) →min, то Z(Y)→ max.

Правило 7. Каждому неизвестному x_j, j= 1, 2, ..., п исходной задачи соответствует ограничение в двойственной задаче. Совокупность этих п ограничений (вместе с условиями неотрицательности неизвестных y_i, соответствующих ограничениям-неравенствам исходной задачи) образует систему ограничений двойственной задачи. Все ограничения двойственной задачи имеют вид неравенств, свободные члены которых находятся в правых частях, а члены с неизвестными y₁, y₂, ..., у_т — в левых. Все знаки неравенств имеют вид «≥», если Z(Y)→ min, и «≤», если Z(Y)→ max.

Коэффициенты, с которыми неизвестные y₁, y₂, ..., у_т входят в ограничение, соответствующее неизвестному х_j, совпадают с коэффициентами при этом неизвестном х_j в ограничениях исходной задачи, а именно: коэффициент при y_i совпадает с тем коэффициентом при х_j, с которым х_j входит в ограничение исходной задачи, соответствующее неизвестному у_i.

Пример 5. Составить задачу, двойственную к данной

F(X) = х₁ + 4х₂ +3 х₃→min,

Решение. Умножим первое ограничение-неравенство на -1. Задача примет вид исходной задачи симметричной пары двойственных задач:

F(X) = х₁ + 4х₂ +3 х₃→min,

Умножим правые части ограничений на соответствующие переменные двойственной задачи и сложим их, получим целевую функции*

Z(Y) = -10у₁ + 6у₂ + 12у₃→ max.

Функция Z(Y) максимизируется, так как целевая функций исходной задачи минимизируется.

Умножаем коэффициенты при х₁ на соответствующие переменные двойственной задачи и складываем их: -1у₁ + 2у₂ +1у₃. Данная сумма меньше или равна коэффициенту при х₁ в целевой функции:

-1у₁ + 2у₂ +1у₃≤1.

Неравенство имеет вид «≤», потому что целевая функция двойственной задачи максимизируется. Аналогично составляются еще два ограничения двойственной задачи (соответствуют переменным х₂, х₃):

-1у₁-1у₂ + 2у₃ ≤4,

-1у₁+3у₃ ≤3.

Все переменные двойственной задачи удовлетворяют условию неотрицательности, потому что все ограничения исходной задачи неравенства.

Окончательно двойственная задача имеет вид

Z(Y) = -10у₁ + 6у₂ + 12у₃→ max,

Пример 6. Составить задачу, двойственную к данной

F(X) = х₁ -х₂ -2 х₃+3 х₄→min,

Решение. Данная задача имеет вид исходной задачи второй несимметричной пары двойственных задач. Запишем двойственную задачу

Z(Y) = 7у₁ + 10у₂ → max,

Переменные у₁, у₂ могут не удовлетворять условию неотрицательности, так как они соответствуют ограничениям-равенствам исходной задачи.

Пример 7. Составить задачу, двойственную к данной

F(X) = 3 - 2х₁ + х₃→min,

Решение. Используем общие правила составления двойственных задач. Умножим ограничения-неравенства на -1, так как в задаче на минимум они должны иметь вид «≥» (см. правило 3). Исходная задача запишется в виде

F(X) = 3 - 2х₁ + х₃→min,

Составим двойственную задачу: Z(Y) =3 - 3у₁ + 5у₂ - 8у₃ + 6у₄ → max,

Неизвестная у₄, соответствующая ограничению-равенству, может быть любого знака (см. правило 4).