[Л.6] III. Моделирование объекта и основы
планирование эксперимента
Развитие современной науки и техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих научных и технологических процессов.
Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Значительно е повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов.
1. Основы моделирование объекта
Часто, приступая к изучению какого-либо процесса экспериментатор не имеет исчерпывающих сведений о механизме процесса. Можно только указать параметры, определяющие условия протекания процесса, и, возможно требования к его результатам. Поставленная проблема является задачей кибернетики. Действительно, если считать кибернетику «наукой, изучающей системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимального управления», то такую систему можно представить в виде черного ящика.
Черный ящик – объект исследования, имеющий (xk + zk) входов
И ym выходов.
Зависимость между выходными параметрами (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функцией отклика. Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы:
Этому уравнению в многомерном пространстве соответствует гиперповерхность, которая называется поверхностью отклика, а само пространство – факторным пространством.
Рисунок 2 – Поверхность отклика
2. Основные определения при выборе математической модели
Под моделью понимается вид функции отклика
.
Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать её уравнение.
Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения. Но как выбрать модель?
Для решения этого вопроса строится сначала геометрический аналог функции отклика - поверхность отклика (рисунок 2). Будем для наглядности рассматривать случай с двумя факторами. В случае многих факторов геометрическая наглядность теряется, и при этом попадаем в абстрактное многомерное пространство. Приходится переходить на язык алгебры. Тем не менее, простые примеры, которые будут рассмотрены, помогут при работе со многими факторами.
Для факторов существует область определения. Это значит, что у каждого фактора есть минимальные и максимальные возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.
Пространство (или область), в пределах которого может быть представлен набор факторов, и в котором строится поверхность отклика, называется факторным пространством (рисунок 3). Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметров оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При более двух факторах поверхность отклика нельзя изобразить наглядно и тогда приходится переходить на язык алгебры.
Геометрическое представление
Рисунок 3 - Факторное пространство
После того, как рассмотрели вопрос о представлении поверхности отклика, необходимо перейти к основному вопросу: как ставить эксперимент, чтобы найти оптимум при минимуме затрат? Это, прежде всего, вопрос стратегии.
Во-первых. При наличии таблицы, в которой содержались бы все возможные состояния объекта и соответствующие им отклики, то отпала бы необходимость в построении математической модели. При этом было бы выбрано то состояние, которое соответствует наилучшему отклику. Но при наличии большого перебора возможных состояний мы вынуждены отказаться от практической реализации этой возможности.
Другая возможность - случайный выбор некоторого числа состояний и определение откликов в них, в надежде, что среди этих состояний окажутся оптимальное или близкое к нему состояния. Но такая интересная возможность маловероятна и не вписывается в нашу тему.
Наконец, третья возможность - строить математическую модель, чтобы с её помощью предсказывать значения откликов в тех состояниях, которые не изучались экспериментально. Если нет возможности измерить отклик в каждом состоянии, то сумеем хотя бы предсказать результат. Причем даже не в каждом состоянии, а только в наиболее интересных, в тех, которые приближаются к оптимальному значению.
Такая стратегия приводит к шаговому принципу, лежащему в основе рассматриваемого метода планирования эксперимента.