24. Силовые и эквипотенциальные линии. Связь между напряженностью и потенциалом

Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.

Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, проведенная таким образом, что касательная к ней в любой точке поля дает направление напряженности в этой точке.

Силовые линии замыкаются на положительных и отрицательных зарядах и не могут замыкаться сами на себя.

Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал (   ).

Если рассечь электростатическое поле секущей плоскостью, то в сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Эти следы называют эквипотенциальными линиями.

 

Эквипотенциальные линии являются замкнутыми сами на себя.

Силовые линии и эквипотенциальные линии пересекаются под прямым углом.

 

 Рассмотрим эквипотенциальную поверхность:

 

 (так как точки лежат на эквипотенциальной поверхности).

 

 – скалярное произведение

Линии напряженности электростатического поля пронизывают эквипотенциальную поверхность под углом 90⁰, тогда угол между векторами   равен 90 градусам, а их скалярное произведение равно 0.

Тогда:

Уравнение эквипотенциальной линии

 

Рассмотрим силовую линию:

 Напряженность электростатического поля направлена по касательной к силовой линии (см. определение силовой линии), также направлен и элемент пути   , поэтому угол между этими двумя векторами равен нулю.

Тогда:

 или 

Уравнение силовой линии

Связь между напряженностью и потенциалом

Из выше сказанного следует, что электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика). Выясним как они связаны между собой. Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал   , на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал   (рис. 13.16).

Напряженность поля Е на всем малом пути dx можно считать постоянной. Тогда работа перемещения  С другой стороны   . Из этих уравнений получаем

(13.22)

Знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала.

25. Магн. Поле в вакууме. Магн. Индукция. Закон Био-Савара-Лапласа.

Магнитная индукция   в данной точке однородного магнитного поля численно равна максимальному вращающему моменту   , действующему на рамку с магнитным моментом равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. (   определяют также с помощью силы Лоренца или силы Ампера).

Направление вектора   совпадает с направлением вектора   в том случае, когда рамка находится в положении равновесия и   .

Магнитное поле удобно представлять с помощью силовых линий вектора   . Силовой линией вектора   называется такая линия, касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора   в этой точке. Направление силовых линий вектора   определяется по правилу правой руки. Для прямолинейного проводника: большой палец по направлению тока, согнутые четыре пальца укажут направления силовой линии. Для кругового витка с током: четыре пальца - по направлению тока, большой палец укажет направление силовой линии в центре витка.

Линии магнитной индукции   , в отличие от силовых линий вектора   , электрического поля, всегда замкнуты и охватывают проводники с током. (Силовые линии вектора   начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных, подходят перпендикулярно к поверхности заряда, густота силовых линий характеризует величину поля).

В некоторых случаях наряду с вектором   применяют вектор напряженности магнитного поля   , который связан с вектор   соотношением   ; 

µ₀ – магнитная постоянная;   ,

µ - магнитная проницаемость среды - показывает во сколько раз магнитное поле в среде больше (меньше) магнитного поля в вакууме.   ,

где В – магнитное поле в веществе, В₀ – внешнее намагничивающее поле.

Из сравнения векторных характеристик электрического поля (вектора   и вектора   ) и магнитного поля (вектора   и   ) следует, что вектор напряженности   электрического поля аналогичен вектору магнитной индукции   . И тот и другой определяют силовое действие полей и зависят от свойств среды, в которой создаются поля.

Аналогом вектора электрического смещения   является вектор напряженности магнитного поля   . Вектор   описывает магнитное поле макротоков (макротоки – токи, протекающие по проводникам), поэтому не зависит от свойств среды.   (Тесла); 

Закон Био-Савара-Лапласа. Этот закон позволяет определить значение   в любой точке относительно проводника с током.

Магнитная индукция   поля, создаваемая элементом проводника   . в некоторой точке А, положение которой относительно элемента   определяется радиус-вектором   , находится по закону Био-Савара-Лапласа:   - закон Био-Савара-Лапласа

(в векторной форме)

Т.к. в законе Био-Савара-Лапласа имеется векторное произведение   , то вектор 

Должен быть перпендикулярен плоскости векторов   и   . Направление вектора   по правилу правой руки.

Модуль (величина) вектора   равен   - закон Био-Савара-Лапласа

(в скалярной форме)   , где α – угол между   и   .

26.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Возьмем контур l (рис. 2.8), охватывающий прямой ток I, и вычислим для него циркуляцию вектора магнитной индукции   , т.е.   . Рис. 2.8       Вначале рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости перпендикулярно потоку (ток I направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор    направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку (линии    прямого тока – окружности).       Воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов.           где    – проекция dl на вектор   ,  но   , где R – расстояние от прямой тока I до dl.  .       Отсюда   ,  (2.6.1)         это теорема о циркуляции вектора   :  циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную.       Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 2.9).       При обходе радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (1–2), а потом в другом (2–1). Поэтому   , и следовательно   ,  (2.6.2)   Рис. 2.9       Итак,      ,  где I – ток, охваченный контуром L.       Эта формула справедлива и для тока произвольной формы, и для контура произвольной формы.       Если контур охватывает несколько токов, то   ,  (2.6.3)   т.е. циркуляция вектора    равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром произвольной формы.       Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля    позволяет легко рассчитать величину В от бесконечного проводника с током (рис. 2.10):      . Рис. 2.10       Итак, циркуляция вектора магнитной индукции    отлична от нуля, если контур охватывает ток (сравните с циркуляцией вектора   :   ). Такие поля, называются вихревыми или соленоидальными.       Магнитному полю нельзя приписывать потенциал, как электрическому полю. Этот потенциал не был бы однозначным: после каждого обхода по контуру он получал бы приращение   .       Линии напряженности электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. А магнитных зарядов в природе нет. Опыт показывает, что линии    всегда замкнуты (см. рис. 1.2. и 1.7). Поэтому теорема Гаусса для вектора магнитной индукции    записывается так:  .