МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЭНЕРГОЕНЕРГЕТИКИ «БЕЛЭНЕГО»

УЧЕРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЕ

«МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Учебный проект по учебной программе факультативных занятий

«Элементы эстэтики в математике»

По учебному предмету «Математика»

X-Xl класс

Выполнил учащиеся группы 6-16

Юркевич Павел Витальевич

Баховчук Егор Иванович

г.Мински.2017г.

Почему же я взял эти темы?

Начнем с того, что две из пяти темы содержат в себе слова, которые я увидел и услышал в первый раз. А так как я - очень любопытный человек, мне стало просто очень интересно, что такое «Снежинка Коха», «Фрактальная живопись», «Салфетка Серпинского» «Закон Вебера-Фехнера», «Пифагора гамма» и другое.

Одна из тем о моей будущей профессии. Поэтому будет неплохо что-нибудь разузнать про неё сейчас.

Про «Золотое» сечение нам мельком рассказали в школе, но ничего не говорили про «Золотое» сечение в акустике и живописи, а я - очень любопытный человек.

И тему про симметрию я взял потому, что я считаю, что многое в нашем мире симметрично и нахожу эту тему довольно интересной.

А еще это единственная тема, которую я могу описать без применения каких-нибудь дополнительных источников информации.

Перечень индивидуальных заданий.

1.Пропорции. «Золотое» сечение. Золотое сечение в акустике, живописи и пропорциях человеческого тела.

2.Симметрия, виды симметрии. Симметрия в алгебре.

3.Снежинка Коха. Салфетка Серпинского. Картины фрактальной живописи

4.Пифагора гамма. Закон Вебера-Фехнера. «Музыка» логарифмов.

5.Проектирование и строительство.

Симметрия. Виды симметрии. Симметрия в алгебре.

Для начала, я хотел бы разобраться с понятием «Симметрия» в узком смысле, но ответ интернета, что симметрия относительно плоскости α в пространстве — это преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M' такую, что отрезок MM' перпендикулярен плоскости α (прямой а) и делится ею пополам. Плоскость α (прямая а) называется плоскостью (осью), меня немного озадачила. Поэтому

Я попробую объяснить симметрию ( в узком смысле ) самостоятельно.

Начнем. Для начала, что значит симметрия в моем понимании :«симметрия-

это свойство геометрической фигуры, при которой одна часть фигуры,

относительно какого-то отрезка, зеркально другой части фигуры».

Докажем это на практике.

1.Возьмем геометрическую фигуру

2.проведем отрезок FM

Думаю, что никто не будет отрицать, что если представить отрезок FM сгибом и сложить этот рисунок, как книгу, то левая и правая часть будет совпадать. А это значит, что при сгибе точка B перейдет в точку D и отрезок FM будет перпендикулярен отрезку BD. Из этого всего выходит, что мое определение не противоречит основному. В этом случае говорят: левая часть рисунка симметрична правой части, относительно отрезка FM.

А теперь симметрия в «широком» смысле - Геометрический объект называется симметричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства. Виды симметрий, возможных для геометрического объекта, зависят от множества доступных геометрических преобразований и того, какие свойства объекта должны оставаться неизменными после преобразования.

И опять ничего не понятно. И опять я попробую объяснить всё сам. Если в самом начале мы рассматривали симметрию как зеркальное равенство между частями рисунка, то теперь мы будем рассматривать симметрию, как начальную позицию и конечную. То есть, например, была фигура, её покрутили-повертели, но она осталась такой же фигурой. И если применить все действия, совершаемые к фигуре, в обратном направлении, эта фигура станет подобной первичной. Значит – эта фигура симметрична. То есть фигура конечного состояния будет симметрична фигуре начального состояния.

Сейчас я более подробно объясню.

Вот два равных треугольника. Первый треугольник находится в начальном положении, а второй в – конечном. Как бы мы не проводили отрезок, у нас не получится показать, что они симметричные. Но если мы приведём треугольник в конечном состоянии в начальное состояние, то они станут симметричные. Из свойств симметрии: если фигура обладает прямолинейным преобразованием, которое может привести фигуру в саму себя, то фигура обладает симметрией. Если мы прибавим влево на 90 градусов в верхних углах конечного состояния, а в нижнем углу прибавим 90 градусов вправо то, получим:

При наложении эти фигуры равны, а значит – симметричны.

Какие же виды симметрии существую? Первая – это зеркальная, она была рассмотрена в самом начале.

Дальше – осевая. Суть осевой симметрии такова, что, если провести отрезок от A и A1 к отрезку MG, который является осью симметрии и от B1 и B к MG, то отрезки получаться равными, а если расстояние от одной точки до оси равна расстоянию точки с другой стороны оси к оси симметрии то одна часть рисунка равна другой части и при наложении они должны совпадать, если они совпадают, то значит – они симметричны.

Центральная симметрия. Центральна симметрия – симметрия относительно точки G. Возьмем два одинаковых треугольника. Один из них повернём на 180 градусов. Теперь

Проведём отрезки AA, BB,CC

По рисунку видно, что отрезки пересеклись в точке G. Это значит, что эти треугольники симметричны точке G. Главное определение центральной симметрии гласит – если преобразование фигуры с помощью точки G производит саму себя, то такая симметрия называется центральной симметрией. Из рисунка видно, что отрезки из точек второй части рисунка указывают на точки в первой части рисунка. Следовательно, эти рисунки симметричны точке G. И опять мои правила не противоречат правилам из книг.

Векторная или переносная симметрия.

Справочник говорит - Переносной симметрией называют симметрию, при которой при перемещении фигуры вдоль прямой AB на какую-то длину, она совпадает само с собой.

Приведу пример.

Возьмем прямоугольник. Изменим его расположение относительно и параллельно отрезка AB. Но мы не изменяли сам прямоугольник. Главное определение говорит - если есть какие-нибудь преобразования, которые приведут фигуру в саму себя, то эти фигуры симметричны. И если мы просто вернём прямоугольник в начальное состояние относительно отрезка АВ, то мы из конечного состояния преобразуем в начальное. Значит – они симметричны. Центральная симметрия характеризуется только изменением расположения относительно и параллельно отрезка AB.

ПРИМЕНЕНИЕ СИММЕТРИИ В АЛГЕБРЕ

Основное и самое главное применение симметрии в алгебре.

Симметрия приходит на помощь в решение некоторых систем уравнений

с симметричными многочленами.

Системы уравнений с симметричными многочленами – без заумных слов с википедии скажу, что это такие системы уравнений, где в каждом уравнении можно поменять местами переменные.

Например

Если мы поменяем местами переменные Х и У, то значения Z и N не поменяются.

Сейчас я напишу решение простейшей системы уравнения с симметричными многочленами.

Теперь объясняю.

Т.к. x и y можно спокойно менять местами, они являются симметричными.

В некоторых случаях мы можем заменить слово симметрия на соответствие.

Значит – x и y можно представить, как 2x или 2y.

Дальше идет обычное решение уравнения.