§ 2. Ряды
Рассматриваются задачи о сходимости положительных, знакопеременных и функциональных рядов.
Задача
54. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Необходимый
признак
сходимости ряда гласит [приложение 5 –
РЯДЫ]: Если ряд
сходится, то
(если же
,
то ряд расходится).
Здесь
.
Рассмотрим предел
.
Предел не равен нулю, следовательно, ряд расходится.
Задача
55. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Используем радикальный признак Коши [приложение 5 – РЯДЫ]: Если для положительного ряда существует предел
,
то
1) при b < 1 ряд сходится;
2) при b > 1 ряд расходится;
3) при b = 1 рассматриваемый признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Найдем предел
.
Найденный
предел
.
Следовательно, данный ряд расходится.
Задача
56. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Используем признак Даламбера [приложение 5 – РЯДЫ]: Если для положительного ряда существует предел
,
то
1) при b < 1 ряд сходится;
2) при b > 1 ряд расходится;
3) при b = 1 рассматриваемый признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Здесь
,
,
тогда имеем
.
Найденный
предел
.
Следовательно, данный ряд сходится.
Задача
57. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Применяем признак Даламбера (см. задачу
56). Здесь
,
,
поэтому
Найденный
предел
.
Следовательно, ряд расходится.
Задача
58. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Ряд
– это обобщенный
гармонический
ряд
вида
,
где
– действительное число. Известно, что
такой ряд [приложение 5 – РЯДЫ]
1)
сходится при
;
2)
расходится при
.
Так
как в исходном примере
,
то ряд сходится.
Задача
59. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
При исследовании сходимости ряда
можно воспользоваться предельным
признаком сравнения
положительных рядов [приложение 5 –
РЯДЫ]: Если существует конечный и отличный
от нуля предел
то положительные ряды
и
одинаковы
в смысле сходимости.
Для
сравнения возьмем обобщенный гармонический
ряд
.
Он сходится (см. задачу 58). Применяя
предельный признак сравнения, получим
.
Так
как предел
конечен и отличен от нуля, то ряд
также сходится.
Задача
60. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Этот ряд относится к знакочередующимся рядам вида
,
где
(n
= 1, 2, 3…).
Cогласно признаку Лейбница [приложение 5 – РЯДЫ] такой ряд сходится, если выполняются два условия:
1)
; 2)
.
Для
данного ряда имеем:
.
Условия теоремы выполнены:
1)
;
2)
.
Следовательно, ряд сходится.
Рассматриваемый ряд является частным случаем знакопеременного (с произвольным чередованием знаков) ряда. Сходимость знакопеременного ряда может быть абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда.
Пусть
– знакопеременный ряд. Если
сходится ряд
,
составленный из модулей,
то ряд
называется абсолютно
сходящимся.
Может оказаться, что ряд
расходится, а ряд
сходится. В этом случае ряд
называется условно
сходящимся.
Итак, рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
=
.
Он положительный. Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера [приложение 5 – РЯДЫ].
Так
как
,
получим
.
Тогда
ряд
сходится, следовательно, ряд
сходится абсолютно.
Задача
61. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Для данного ряда выполняются условия признака Лейбница [приложение 5 – РЯДЫ]:
1)
2)
.
Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость (см. задачу 60), составим ряд из модулей
.
Для
сравнения возьмем обобщенный гармонический
расходящийся ряд
и воспользуемся предельным признаком
сравнения [приложение 5 – РЯДЫ]:
.
Так как предел конечен и отличен от нуля, то ряды
и
ведут
себя одинаково в смысле сходимости,
т.е. ряд
тоже расходится. Итак, ряд
расходится, следовательно, ряд
сходится условно.
Задача
62. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Если ряд
сходится, то
(см. задачу 54). Но
(этот предел не существует), поэтому
ряд
расходится.
Задача
63. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Ряд вида
,
где
а0,
а1,
а2,
…,
аn,
…
–
постоянные
вещественные числа, называется степенным
рядом. Степенной
ряд –
это частный случай функционального
ряда
,
то есть ряда, члены которого есть функции,
зависящие от х.
Для
каждого
степенного ряда существует положительное
число R
такое, что этот ряд абсолютно сходится,
если
и расходится, если
.
Число
R
называется
радиусом
сходимости рассматриваемого
ряда, а интервал (– R,
R)
–
интервалом
сходимости этого
ряда.
На концах интервала сходимости (в точках х = – R и х = R) степенной ряд может сходиться или расходиться. Это выясняется отдельно для каждого числового ряда, получающегося из степенного ряда в результате подстановки в него указанных значений.
Радиус сходимости R степенного ряда можно определить с помощью признака Даламбера или радикального признака Коши по формулам [приложение 5 – РЯДЫ]:
, 
.
Найдем радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как
,
,
получим
.
Следовательно, R = 3. Поэтому данный ряд абсолютно сходится в интервале (– 3; 3) и расходится вне отрезка [– 3; 3].
Исследуем сходимость ряда в точках х = 3 и х = – 3.
При х = 3 исходный ряд принимает вид
.
Это
обобщенный гармонический расходящийся
ряд (
) [приложение 5 –
РЯДЫ]. Итак,
при х
= 3
заданный ряд расходится.
При х = – 3 получаем знакочередующийся ряд
.
Рассмотрим для него выполнение условий теоремы Лейбница [приложение 5 – РЯДЫ]
1)
;
2)
.
Условия
выполняются, значит, ряд
сходится.
Следовательно, область сходимости исходного ряда [– 3; 3).
Задача
64. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Этот ряд степенной. Будем искать радиус сходимости ряда по формуле
(см.
задачу 63).
Так
как
,
,
то
.
Это означает, что областью сходимости ряда может быть только одна точка х = 0. Действительно, при х = 0 получим нулевой сходящийся ряд
0 + 0 + 0 + … .
Итак, ряд сходится в одной точке х = 0.
Задача
65. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. В соответствии с теорией, изложенной в задаче 63, будем искать радиус сходимости ряда по формуле
.
Так
как
,
,
то
.
Следовательно,
.
Значит, ряд сходится при любых х
и область сходимости ряда
.