§ 2. Аналитическая геометрия

Рассматриваются задачи по темам: скалярное, векторное и смешанное произведения, уравнения прямой и плоскости.

Задача 5. Найти длину вектора .

Решение. Длину вектора , или его модуль можно вычислить по формуле

.

Имеем .

Задача 6. Векторы и образуют угол . Зная, что , , найти скалярное произведение векторов .

Решение. Согласно определению скалярное произведение векторов и равно

.

Поэтому получим

.

Задача 7. Векторы и образуют угол . Известно, что , , а скалярное произведение векторов . Найти .

Решение. Выразим из формулы скалярного произведения (см. задачу 6)

.

Задача 8. Вычислить скалярное произведение векторов и .

Решение. Используем формулу скалярного произведения векторов и , согласно которой

.

Так как , , то

.

Задача 9. Вычислить скалярное произведение , если известно, что , , .

Решение. Найдем векторы и :

,

.

Согласно формуле скалярного произведения (см. задачу 8) получим

.

Задача 10. Найти , при котором ортогональны векторы и .

Решение. Условием ортогональности векторов и является равенство нулю их скалярного произведения

.

Имеем ,

или , откуда .

Задача 11. Найти векторное произведение векторов .

Решение. Вычисляем векторное произведение векторов и по формуле

.

Получаем

.

Задача 12. Векторы и образуют угол . Зная, что , , найти модуль векторного произведения векторов .

Решение. В соответствии с определением векторного произведения имеет место формула

.

Подставляя исходные данные, получим

.

Задача 13. Известно, что , и векторы и образуют угол . Найти .

Решение. Используя формулу модуля векторного произведения (см. задачу 12), найдем

.

С учетом исходных данных получим

.

Задача 14. Даны три вектора , , . Найти:

1. смешанное произведение векторов ;

2. объем параллелепипеда, построенного на векторах , , ;

3. объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .

Решение. 1) Смешанное произведение векторов , , вычисляется по формуле

.

Поэтому получаем

.

2) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , выражается через смешанное произведение и равен

.

3) Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , составляет 1/6 объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах (рис.3), т.е.

.

Задача 15. Определить , при котором компланарны векторы , , .

Решение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

.

Приравнивая к нулю смешанное произведение векторов (см. задачу 14), получим уравнение для определения

.

Отсюда , значит .

Задача 16. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А(1; 1; 1), В(1; 2; 3), С(2; 1; −1).

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки :

.

Получим

,

,

,

,

.

Задача 17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4; −1; 0) перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид

.

Подставив заданные значения, получим

, или

.

Задача 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 0; −3) параллельно плоскости .

Решение. В уравнении плоскости вида

,

где − координаты нормального вектора – вектора, перпендикулярного к плоскости.

Таким образом, плоскость имеет нормаль .

Поскольку эта плоскость параллельна искомой, вектор будет нормалью и к искомой плоскости. Осталось воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору (см. задачу 17). Получим

, или

.

Задача 19. Найти А и В, при которых плоскость параллельна плоскости .

Решение. Нормальные векторы заданных плоскостей (см. задачу 18) соответственно равны и . Так как плоскости параллельны, их нормали коллинеарны, а условием коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат:

.

Поэтому получим

.

Отсюда следует, что А = 7,5, В = −4.

Задача 20. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(−2; 7; 0) параллельно вектору .

Решение. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , имеют вид

.

Параметрические уравнения прямой можно получить, приравняв эти отношения к t

и выразив х, y и z через t:

.

Заметим, что вектор называют направляющим вектором прямой.

С учетом исходных данных задачи получаем канонические уравнения

и параметрические уравнения искомой прямой

.

Задача 21. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(4; 1; 5) параллельно прямой .

Решение. Прямая параллельна своему направляющему вектору . Но тогда вектор параллелен и искомой прямой. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (см. задачу 20), получим

.

Задача 22. Найти А и В, при которых параллельны прямые и .

Решение. Если прямые параллельны, то их направляющие векторы и коллинеарны, значит, координаты направляющих векторов пропорциональны (см. задачу 19):

.

Отсюда следует, что А = −0,5, В = −20.

Задача 23. Определить , при котором перпендикулярны две прямые и .

Решение. Так как прямые перпендикулярны, их направляющие векторы и также перпендикулярны, но тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю (см. задачу 10)

,

откуда .

Задача 24. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(2; −5; 1) и М₂(3; 4; −2).

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и :

.

Получим

, или

.

Задача 25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; −3; 0) перпендикулярно прямой .

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, направляющий вектор этой прямой также перпендикулярен плоскости.

Согласно уравнению плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно вектору (см. задачу 17), получим

, или

.

Задача 26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 7; −1) перпендикулярно плоскости .

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, нормальный вектор этой плоскости параллелен прямой. В соответствии с уравнением прямой, проходящей через точку М параллельно данному вектору (см. задачу 20), имеем

.