Л.В. ЛИМАНОВА,

Л.А. Муратова

Высшая математика

в примерах и задачах

(для заочного факультета)

Самара

Самарский государственный технический университет

2010

Ф ЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

К а ф е д р а «Высшая математика и прикладная информатика»

Л.В. ЛИМАНОВА, Л.А. Муратова

Высшая математика в примерах и задачах (для заочного факультета)

Самара

Самарский государственный технический университет

2010

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

УДК 517.531, 519.2

Л 58

Лиманова Л.В.

Л 58 Высшая математика в примерах и задачах (для заочного факультета): Учеб. пособ. по специальным разделам высшей математики / Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2010. – 86 с: ил.11.

Представлены типовые задачи с подробными решениями из следующих разделов курса высшей математики: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», «Ряды», «Дифференциальные уравнения», «Теория функций комплексной переменной», «Операционное исчисление», «Теория вероятностей». Пособие содержит тренировочные задания и может быть использовано при подготовке к контрольным работам и экзаменам по высшей математике.

Предназначено для студентов заочного факультета СамГТУ.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Павлова Г.А.

УДК 517.531, 519.2

Л 58

©  Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова, 2010

© Самарский государственный

технический университет, 2010

Пособие содержит три главы, соответствующие трем семестрам курса высшей математики, изучаемой на заочном факультете СамГТУ.

В соответствии с программой здесь представлены следующие разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления, ряды, дифференциальные уравнения, теория функций комплексной переменной, операционное исчисление, теория вероятностей.

Работа состоит из набора типовых задач из указанных разделов с подробными решениями и необходимым теоретическим материалом. Кроме того, в приложении представлены тренировочные тесты с ответами для самоконтроля знаний.

Материал данной работы рекомендуется использовать для подготовки к контрольным работам и экзаменам по высшей математике на заочном факультете.

Глава 1

Линейная алгебра,

Аналитическая геометрия,

Начала математического анализа

Рассматриваются задачи по темам: теория определителей, действия с матрицами, решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

§ 1. Линейная алгебра

Задача 1. Вычислить определитель .

Решение. Определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов главной диагонали ( и ) и побочной ( и ), то есть

.

Поэтому .

Задача 2. Вычислить определитель .

Решение. Рассмотрим два способа вычисления определителя третьего порядка.

Способ первый: используем формулу

При этом полезна следующая схема. Первые три слагаемых – это произведения элементов, попавших на главную диагональ и в вершины двух треугольников (рис.1). Три слагаемых в скобках – это произведения элементов, попавших на побочную диагональ и в вершины двух других треугольников (рис.2).

Рис. 1 Рис. 2

Получаем

.

Способ второй – разложение определителя по элементам строки или столбца. Например, для любой строки i имеет место формула:

Здесь - минор элемента - определитель второго порядка, получающийся в результате вычеркивания i-той строки и j-того столбца (то есть строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Аналогичная формула справедлива и для любого столбца.

Раскладывая заданный определитель по элементам первой строки, получим

Задача 3. Умножить матрицу на матрицу и найти сумму элементов третьей строки результирующей матрицы.

Р ешение. Известно, что матрицу A размера (m − число строк, n − число столбцов) можно умножить на матрицу B размера , если n = p, причем в результате получится матрица размера :

Элемент c_ij (расположен на пересечении i-й строки и j-го столбца) результирующей матрицы C вычисляется по формуле

,

то есть равен сумме произведений элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B.

В данной задаче матрицы A и B имеют размер и соответственно, и, значит, перемножаемы (n=p=2), а результирующая матрица C будет иметь размер .

Найдем c₁₁, для чего умножим поэлементно первую строку матрицы A на первый столбец матрицы B и результаты сложим:

.

Вычислим c₁₂, умножив первую строку матрицы A на второй столбец матрицы B и сложив результаты:

.

Аналогично, находим остальные элементы

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Итак,

.

При этом сумма элементов третьей строки матрицы C равна

.

Задача 4. Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:

Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов

~

Среди коэффициентов при неизвестных в первом уравнении есть удобная для дальнейших вычислений 1, ей соответствует переменная z. Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 2 и сложим со вторым. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей

~

Учитывая тот факт, что в каждом уравнении выбирается одна базисная единица и по условию задачи другой базисной переменной должен быть y, получим базисную единицу во втором уравнении, разделив его на (-2):

~

Исключим у из первого уравнения. Для этого умножим второе уравнение на 3 и сложим с первым:

.

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице

Выразив базисные переменные у и z через свободную переменную х, получим общее решение системы уравнений