Деформация изгиба

Деформация изгиба — вид деформации, при котором нарушается прямолинейность главной оси тела. Деформации изгиба испытывают все тела подвешенные на одной или нескольких опорах. Каждый материал способен воспринимать определенный уровень нагрузки, твердые тела в большинстве случаев способны выдерживать не только свой вес, но и заданную нагрузку. В зависимости от способа приложения нагрузки при изгибе различают чистый и косой изгиб.

Схема изгиба образца

Посмотрите прибор измеряющий деформацию изгиба →

Значение деформации изгиба важно для проектирования упругих тел, таких, как мост с опорами, гимнастический брус, турник, ось автомобиля и другие.

Деформация кручения

Деформация кручения – вид деформации, при котором к телу приложен крутящий момент, вызванный парой сил, действующих в перпендикулярной плоскости оси тела. На кручение работают валы машин, шнеки буровых установок и пружины.

Схема кручения образца

Посмотрите прибор измеряющий деформацию кручения →

Пластическая и упругая деформация

В процессе деформации важное значение имеет величина межатомных связей, приложение нагрузки достаточной для их разыва приводит к необратимым последствиям (необратимая или пластическая деформация). Если нагрузка не превысила допустимых значений, то тело может вернуться в исходное состояние (упругая деформация). Простейший пример поведения предметов, подверженных пластической и упругой деформацией, можно проследить на падении с высоты резинового мяча и куска пластилина. Резиновый мяч обладает упругостью, поэтому при падении он сожмется, а после превращения энергии движения в тепловую и потенциальную, снова примет первоначальную форму. Пластилин обладает большой пластичностью, поэтому при ударе о поверхность оно необратимо утратит свою первоначальную форму.

За счет наличия деформационных способностей все известные материалы обладают набором полезных свойств – пластичностью, хрупкостью, упругостью, прочностью и другими. Исследование этих свойств достаточно важная задача, позволяющая выбрать или изготовить необходимый материал. Кроме того, само по себе наличие деформации и его детектирование часто бывает необходимо для задач приборостроения, для этого применяются специальные датчики называемые экстензометрами или по другому тензометрами.

37

А) 1.12. Сила упругости. Закон Гука

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости.

Простейшим видом деформации являются деформации растяжения и сжатия (рис. 1.12.1).

Рисунок 1.12.1. Деформация растяжения (x > 0) и сжатия (x < 0). Внешняя сила

При малых деформациях (|x| << l) сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации: 

Fx = Fупр = –kx.

Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука. Коэффициент k называется жесткостью тела. В системе СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Коэффициент жесткости зависит от формы и размеров тела, а также от материала. В физике закон Гука для деформации растяжения или сжатия принято записывать в другой форме. Отношение ε = x / l называется относительной деформацией, а отношение σ = F / S = –F_упр / S, где S – площадь поперечного сечения деформированного тела, называется напряжением. Тогда закон Гука можно сформулировать так: относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ: 

Коэффициент E в этой формуле называется модулем Юнга. Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела. Модуль Юнга различных материалов меняется в широких пределах. Для стали, например, E ≈ 2·10¹¹ Н/м², а для резины E ≈ 2·10⁶ Н/м², т. е. на пять порядков меньше.

Закон Гука может быть обобщен и на случай более сложных деформаций. Например, при деформации изгиба упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах (рис. 1.12.2).

Рисунок 1.12.2. Деформация изгиба.

Упругую силу   действующую на тело со стороны опоры (или подвеса), называют силой реакции опоры. При соприкосновении тел сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения. Поэтому ее часто называют силой нормального давления. Если тело лежит на горизонтальном неподвижном столе, сила реакции опоры направлена вертикально вверх и уравновешивает силу тяжести:   Сила   с которой тело действует на стол, называется весом тела.

В технике часто применяются спиралеобразные пружины (рис. 1.12.3). При растяжении или сжатии пружин возникают упругие силы, которые также подчиняются закону Гука. Коэффициент k называют жесткостью пружины. В пределах применимости закона Гука пружины способны сильно изменять свою длину. Поэтому их часто используют для измерения сил. Пружину, растяжение которой проградуировано в единицах силы, называют динамометром. Следует иметь в виду, что при растяжении или сжатии пружины в ее витках возникают сложные деформации кручения и изгиба.

Рисунок 1.12.3. Деформация растяжения пружины.

В отличие от пружин и некоторых эластичных материалов (резина) деформация растяжения или сжатия упругих стержней (или проволок) подчиняются линейному закону Гука в очень узких пределах. Для металлов относительная деформация ε = x / l не должна превышать 1 %. При больших деформациях возникают необратимые явления (текучесть) и разрушение материала.

Модель. Закон Гука

б) Модуль сдвига — физическая величина, характеризующая способность материала сопротивляться сдвиговой деформации. Является вторым параметром Ламе ({\textstyle \mu }). Модуль сдвига определяется следующим соотношением:

{\displaystyle G={\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/I}}={\frac {FI}{A\Delta x}},}

где

{\displaystyle \tau _{xy}=F/A} — касательное напряжение;

{\displaystyle F} — действующая сила;

{\displaystyle A} — площадь, на которую действует сила;

{\displaystyle \gamma _{xy}=\Delta x/I=tg\theta } — сдвиговая деформация;

{\displaystyle \Delta x} — смещение;

{\displaystyle I} — начальная длина.

В международной системе единиц (СИ) модуль сдвига измеряется в паскалях (на практике —- в гигапаскалях).

Материал	Значение модуля сдвига (ГПа) (при комнатной температуре)
Алмаз	478.
Сталь[1]	79.3
Медь[1]	45.5
Титан	41.4
Латунь[1]	36.0
Стекло	26.2
Алюминий[1]	25.5
Полиэтилен	0.117
Резина	0.0006

Модуль сдвига — одна из нескольких величин, характеризующих упругие свойства материала. Все они возникают в обобщённом законе Гука:

• Модуль Юнга описывает поведение материала при одноосном растяжении,

• Объёмный модуль упругости описывает поведение материала при всестороннем сжатии,

• модуль сдвига описывает отклик материала на сдвиговую нагрузку.

У однородного изотропного материала модуль сдвига связан с модулем Юнга через коэффициент Пуассона:

{\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}},}

где {\displaystyle \nu } - значение коэффициента Пуассона для данного материала.

Мо́дуль Ю́нга (модуль продольной упругости) — физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению, сжатию при упругой деформации^[1].

Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.

В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле — как функционал деформируемой среды и процесса.

В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на квадратный метр или в паскалях. Является одним из модулей упругости.

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

{\displaystyle E={\frac {F/S}{\Delta l/l}}={\frac {Fl}{S\Delta l}},}

где:

• {\displaystyle F} — нормальная составляющая силы,

• {\displaystyle S} — площадь поверхности, по которой распределено действие силы,

• {\displaystyle l} — длина деформируемого стержня,

• {\displaystyle \Delta l} — модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина {\displaystyle l}).

Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:

{\displaystyle c={\sqrt {\frac {E}{\rho }}},}

где {\displaystyle \rho } — плотность вещества.

38

Механические свойства твердых тел

Под действием сил форма твердых тел меняется, происходит их деформация (от латинского deformatio – искажение). При деформациях может меняться и объем тел. Рис. 1 Деформации, которые полностью исчезают после прекращения действия внешних сил, называют упругими. Соответственно, деформации, которые не исчезают после прекращения действия внешних сил, называютсяпластическими. Рис. 2 По характеру изменения формы тела можно выделить деформации растяжения и сжатия, кручения, изгиба, сдвига. При растяжении тела удлиняются и одновременно уменьшаются в поперечных размерах. Это хорошо видно при растяжении плоского резинового жгута, на котором начерчена сетка линий. Деформации растяжения подвергаются струна гитары, провода линии электропередач, трос подъемного крана, сцепка между вагонами. Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Деформацию сжатия легко пронаблюдать с помощью мягкой резинки, на которой также нанесена сетка линий. Деформации сжатия подвергаются фундамент и стены зданий, ножки стульев и стола, бревна, распирающие грунт в рудниках. Деформация сдвига обусловливается двумя равными по модулю и противоположными по направлению моментами сил. При сдвиге любой мысленно выделенный в теле прямоугольный параллелепипед превращается в наклонный, равный ему по объему. Сдвиг возникает во всех трущихся телах как при трении покоя, так и при трении скольжения. Деформации сдвига подвергаются заклепки, скрепляющие два листа, если эти листы растягиваются. Сдвигаются и волокна бумаги при разрезании ее ножницами. Чтобы пронаблюдать деформацию кручения, можно взять в руки резиновый стержень, вдоль образующей которого проведена прямая линия, и повернуть его в разных направлениях. Линия примет винтовую форму. Деформации кручения подвергаются валы, передающие вращающий момент от двигателей к колесам автомобилей и гребным винтам теплоходов. Эту же деформацию испытывает ручка отвертки при заворачивании шурупа. Растягивание цилиндрической пружины также приводит к кручению проволоки, из которой она изготовлена. Рис. 6 Деформацию изгиба можно пронаблюдать, закрепив на столе линейку и подвесив к ее концу груз. Изгиб испытывают потолочные плиты зданий, железнодорожные рельсы, рычаги. Рис. 7 Все перечисленные деформации можно пронаблюдать и на специальной модели, которая представляет из себя набор расположенных параллельно друг другу деревянных пластин, сквозь которые продето несколько спиральных пружин. Наблюдая различные деформации можно заметить, что практически всегда они сводятся к деформациям растяжения и сжатия, поэтому дальнейшие рассуждения будут вестись на примере именно этих видов деформаций. Рис. 8 Физическая величина, равная модулю разности конечной и начальной длины деформированного тела, называется абсолютной деформацией: Физическая величина, равная отношению абсолютной деформации тела к его начальной длине, называется относительной деформацией: Относительная деформация показывает, на сколько деформируется каждая единица начальной длины тела. Обычно измеряют относительную деформацию в процентах. При упругих деформациях внутри тела возникает механическое напряжение. Механическое напряжение – это физическая величина, равная отношению нормальной составляющей силы упругости, возникающей в деформируемом теле, к площади поперечного сечения этого тела, расположенного перпендикулярно силе : Механическое напряжение показывает, чему равна сила упругости, приходящаяся на единицу площади деформируемого тела. Чтобы получить единицу механического напряжения надо в определяющее уравнение этой величины подставить единицы силы –1 Н и площади – 1 м2. Получаем 1 Н/м2. Эта единица имеет собственное название – 1 Па (паскаль). Рис. 9 При деформации тела зависимость механического напряжения от относительной деформации имеет сложный вид, изображаемый в виде диаграммы растяжения. По диаграмме до точки A эти величины находятся в прямой пропорциональной зависимости. До точки B тело испытывает упругие деформации, на участке BC деформации носят неупругий характер. Максимальное напряжение, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации, называют пределом упругости (σy). На участке CD удлинение тела растет практически без увеличения нагрузки. Это явление называется текучестью материала. Далее, с увеличением деформации, кривая напряжения несколько возрастает, достигая максимума в точке E. Затем напряжение резко падает и образец разрушается. Для выявления количественной зависимости между силой упругости, возникающей в деформируемом теле, и его геометрическими размерами, изучим более основательно упругую деформацию резинового жгута. Рис. 10 В первом опыте исследуем зависимость абсолютной деформации жгута от его длины. Для этого закрепим плоский резиновый жгут в лапке штатива. Рядом расположим линейку. Подвесим к жгуту такой груз, чтобы было заметным и измеряемым его растяжение. Зафиксируем величину этого растяжения. Не изменяя площади поперечного сечения жгута и веса груза, увеличим длину жгута в два раза. Вновь зафиксируем величину его растяжения. Во втором опыте исследуем зависимость величины абсолютной деформации резинового жгута от площади его поперечного сечения. Для этого закрепим в лапке штатива сначала один, а затем два одинаковых, параллельно сложенных жгута. В обоих случаях подвесим к жгутам гири одинакового веса и измерим величины соответствующих растяжений. В третьем опыте исследуем зависимость величины абсолютной деформации резинового жгута от силы, действующей на него. Для этого закрепим в лапке штатива жгут, и будем подвешивать к нему грузы, увеличивая их вес и измеряя каждый раз величину растяжения жгута. По результатам опытов можно сделать вывод, что в пределах точности измерений, при малых деформациях, абсолютное растяжение жгута, с которым проводился эксперимент, прямо пропорционально силе, действующей на него, начальной длине жгута и обратно пропорционально площади его поперечного сечения. Аналогичные эксперименты, проведенные с другими телами, показывают, что найденные зависимости выполняются и для них. Кроме того, величина деформации при одной и той же нагрузке для тел одинаковой геометрической формы и размеров, но изготовленных из разных материалов, различна. Закон, устанавливающий связь между силами упругости, или напряжениями, возникающими в деформируемых телах, и величинами деформаций был установлен английским естествоиспытателем Робертом Гуком и носит его имя. Закон Гука может быть сформулирован следующим образом: Сила упругости, возникающая в теле при его малых деформациях прямо пропорциональна площади поперечного сечения тела, его абсолютной деформации и обратно пропорциональна начальной длине тела: По другому этот закон читается следующим образом. Механическое напряжение, возникающее в теле при его малых деформациях прямо пропорционально относительной деформации тела: σ = E ∙ ε. Коэффициент пропорциональности в законе Гука называется модулем упругости, или модулем Юнга. Модуль Юнга показывает, чему равно механическое напряжение в теле при его относительной деформации, равной единице. Чтобы получить единицу модуля Юнга, надо выразить его из формулы закона Гука и в полученное выражение подставить единицы соответствующих величин. Получаем 1 Па (паскаль). Знание деформаций, возникающих в телах при их нагрузке, позволяет проектировать различные сооружения. Рис. 11 Существует удобный способ прямого наблюдения деформаций, возникающих в моделях конструкций, изготовленных из оргстекла, если эти модели рассматривать с помощью специального способа освещения. Так, наблюдая за деформацией изгиба прозрачной пластины, можно сделать вывод, что ее центральная часть, в отличие от периферийных областей, практически не деформируется. Рис. 12 Наблюдение линий распределения механического напряжения в модели балки двутаврового сечения помогает понять, почему удаление незаштрихованной области балки прямоугольного сечения мало влияет на ее прочность. Б) Коэффициент Пуассона (обозначается как {\displaystyle \nu } или {\displaystyle \mu }) — величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец. Коэффициент Пуассона и модуль Юнга полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала[1]. Безразмерен, но может быть указан в относительных единицах: мм/мм, м/м.

{\displaystyle l=vt}LL