4.3 Расчёт сложных электрических цепей

с помощью законов Кирхгофа

Задачей расчёта является нахождение токов, напряжений и мощностей всех или отдельных участков цепи по заданным значениям ЭДС и параметрам элементов цепи.

Рис. 4.4 Схема №1

Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Перед тем как составить уравнения, необходимо произвольно выбрать:

а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;

б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке. Число неизвестных токов равно количеству ветвей схемы. В схеме № 1 (рис. 4.4) количество ветвей схемы в = 6. Поэтому для нахождения значений всех токов необходимо составить шесть независимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

4.3.1 Составление уравнений по законам Кирхгофа

Для того, чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу узлов у без единицы, т. е. у – 1. Уравнение для последнего узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для у – 1 узлов. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа.

По второму закону Кирхгофа составляют количество уравнений, равное числу независимых контуров N.

Контуры считается независимыми, если в каждом из них имеется хотя бы одна ветвь, не принадлежащая другим контурам.

Таким образом, для схемы рис. 4.4, имеющей 6 ветвей и 4 узла следует составить 3 уравнения по первому и 3 уравнения по второму законам Кирхгофа.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a. b c:

Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа, стремясь, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа.

Совместным решением этих 6 уравнений находим все неизвестные токи ветвей. Если какие либо токи окажутся со знаком минус, значит действительное направление этих токов противоположно условно выбранному первоначально.

После определения токов просто находятся напряжения и мощности всех ветвей.

4.4 Метод эквивалентных сопротивлений

Метод эквивалентных сопротивлений применяется для расчёта таких электрических цепей, в которых имеются пассивные элементы, включённые между собой последовательно, параллельно или по смешанной схеме.

Рис. 4.5 Схема со смешенным соединением резисторов

На схеме рис.4.5 сопротивления R3 и R4 включены последовательно: между ними в точке 3 нет ответвления с током, поэтому Эти два сопротивления можно заменить одним эквивалентным, определив его как сумму

После такой замены получается более простая схема (рис. 4.5,б). Сопротивления и соединены параллельно. Эквивалентная проводимость этих цепей равна сумме проводимостей и

или .

Из полученного выражения получаем формулу для вычисления эквивалентного сопротивления двух параллельно соединённых резисторов, которая очень часто используется и поэтому её полезно запомнить.

( 4.4 )

Эквивалентное сопротивление двух параллельно соединённых резисторов равно произведению значений этих резисторов, делённому на их сумму.

После замены параллельно соединённых резисторов и их эквивалентным значением получается более простая схема (рис. 4.5, в).

В схеме рис. 4.5, в сопротивления соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним (эквивалентным) сопротивлением между точками 1 и 5, получим простейшую схему (рис. 4.5, г).

Подобными преобразованиями схему смешанного соединения пассивных элементов с одним источником энергии в большинстве случаев можно привести к простейшей схеме. В более сложных схемах методом эквивалентных сопротивлений достигается упрощение, которое значительно упрощает расчёт.

Определение токов

В простейшей схеме (рис. 4.5, г) ток определяется по закону Ома для замкнутой цепи ( ). Токи в других ветвях первоначальной схемы определяют, переходя от схемы к схеме в обратном порядке.

Из схемы рис. 4.5, в видно, что

Кроме того, напряжение между точками 2 и 4

Зная это напряжение, легко определить токи и :

Из приведённых формул следует важное правило, которое тоже весьма полезно запомнить:

В точке разветвления тока на две ветви токи в параллельных резисторах обратно пропорциональны их сопротивлениям.

Таким образом, используя упрощённые схемы, без особых затрат времени определены токи всех ветвей исходной схемы.