5. Разложение пространственной силы на проекции по осям координат

В плоскости (рис. 42)

Рис. 42. Разложение одной силы в плоскости

Рис. 43. Разложение одной силы на систему сходящихся сил

Если известны проекции , то значение силы будет (рис. 43)

а углы между силой F и её проекциями на оси будут

6. Разложение плоской силы по связям

Кронштейн (рис. 44)

Рис. 44. Разложение силы по связям: кронштейн

и – стержни.

Дано: .

Решение:

Сила сжатия стержня

Сила растяжения стержня

Подвес на тросе (рис. 45)

Рис. 45. Разложение силы по связям: подвес на тросе

отсюда

Пример. Вытягивание завязшей машины с помощью туго натянутого троса (рис. 46).

Рис. 46. Вытягивание завязшей машины с помощью туго натянутого троса

Нельзя сильно натягивать тросы линий электропередач или бельевые верёвки – могут порваться при обледенении или под весом белья при сушке на ветру.

7. Условия равновесия системы сходящихся сил

Геометрическое условие

• силовой многоугольник должен быть замкнут.

Аналитическое условие

• равнодействующая (главный вектор) .

Для пространственной системы из сил проекции

8. Теория моментов сил

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА

Вектор перпендикулярен плоскости ; направлен в ту сторону, откуда поворот виден против часовой стрелки (рис. 47а); определяется векторным произведением

модуль вектора

– это площадь параллелограмма со сторонами и (рис. 47б).

Свойства момента силы:

1) не изменяется при переносе силы по линии её действия;

2) равен нолю, когда или .

а)

б)

Рис. 47. Момент силы относительно центра

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

Рис. 48. Момент силы относительно оси

и – в пространстве;

и – в плоскости (рис. 48);

9. Аналитические формулы для моментов относительно координатных осей от проекций силы

Даны координаты точки приложения силы и проекций (рис. 49).

Проекция момента силы на ось , как сумма моментов от проекций :

Так как параллельна , то

Рис. 49. Момент от проекций силы относительно координатных осей

По мнемоническому (от греч. мнемоника (mnemo – память; Мнемозина – богиня памяти) – искусство запоминания путём образования ассоциаций) правилу круговой перестановки индексов и координат против часовой стрелки (рис. 50) получаем

Рис. 50. Правило круговой перестановки индексов и координат

10. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРЕМ

– плечо пары сил (рис. 51).

Рис. 51. Пара сил

1. Две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны.

2. Пару сил можно переносить в плоскость, параллельную данной, не меняя её действия.

3. Система пар сил в пространстве эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар:

11. Теорема о параллельном переносе силы

(ПРИВЕДЕНИЕ СИЛЫ К НЕКОТОРОМУ ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ)

Формулировка: силу, приложенную к телу, можно переносить параллельно из данной точки в другую, прибавляя пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы до другой точки (рис. 52).

Доказательство:

Рис. 52. Теорема о параллельном переносе силы

и – дополнительные силы:

Пара сил и образуют момент .

В точке остаётся сила и появляется момент .

12. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ

( ПЛОСКОЙ ИЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ)

СИСТЕМЫ СИЛ К НЕКОТОРОМУ ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ

В этом случае система сил , , , … , заменяется одной силой и суммой моментов, а именно произведений каждой из этих сил на расстояние от точки её приложения до некоторого центра

Замечания.

1. Сила не является здесь равнодействующей, так как заменяет систему сил не одна, а с появившейся парой сил, имеющей момент .

2. Значение от выбора центра не зависит, а значение меняется с изменением центра , в который переносятся силы.

13. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ В СЛУЧАЕ, КОГДА ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР РАВЕН НОЛЮ, А ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ НЕ РАВЕН НОЛЮ

Случай 1: .

Система сил приводится к паре сил с моментом . Значение от выбора центра не зависит. Это значение вычисляется по составляющим его проекциям

14. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ В СЛУЧАЕ, КОГДА ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР НЕ РАВЕН НОЛЮ, А ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ РАВЕН НОЛЮ

Случай 2: .

Система сил приводится к равнодействующей , приложенной в центре . Значение вычисляется по составляющим её проекциям

15. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ В СЛУЧАЕ, КОГДА ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ НЕ РАВНЫ НОЛЮ И ВЕТОР ГЛАВНОГО МОМЕНТА ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕН ГЛАВНОМУ ВЕКТОРУ

Случай 3.1: , причём перпендикулярен .

Дополнительно можно приложить пару сил и , по величине равных (рис. 53). Тогда силы и уравновесятся ( ). Силы и исключены.

Рис. 53. Приведение пространственной системы сил

к простейшему виду:

, причём перпендикулярен

Пару сил и можно было приложить на таком плече , что они создадут момент равный .

В итоге система сил в этом случае приводится к одной равнодействующей , приложенной в точке .

16. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ В СЛУЧАЕ, КОГДА ВЕКТОР ГЛАВНОГО МОМЕНТА ПАРАЛЛЕЛЕН ГЛАВНОМУ ВЕКТОРУ

Случай 3.2: , причём параллелен .

Рис. 54. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду:

, причём параллелен

– момент от пары сил и (рис. 54).

Совокупность силы и пары сил и называется динамическим винтом с осью по линии действия .

17. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ В СЛУЧАЕ, КОГДА ВЕКТОР ГЛАВНОГО МОМЕНТА И ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР НЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ И НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ

Случай 3.3: , но и не перпендикулярны и не параллельны.

Вектор можно разложить на составляющие параллельно и перпендикулярно (рис. 55).

Дополнительно можно приложить пару сил и по величине равных на таком плече , что они создадут момент равный .

Рис. 55. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду:

, но и не перпендикулярны и не параллельны

Силы и исключены.

Остаются:

• сила в точке на расстоянии от точки ;

• момент , как свободный, перенесённый в точку .

В итоге система сил приводится к динамическому винту с осью, проходящей через точку .