График регрессии y на х (см. Предыдущий Пример) и график линейной регрессии y на х практически совпадают

30

20

A

10

-1 0 1 2 x

То, что регрессия являлась практически прямой и привело к тому, что и линейная регрессия , которая является по определению прямой, совпадают.

Задача 20. Найти закон распределения случайной величины и ее числовые характеристики, если случайных величин X и Y, являются компонентами двумерной случайной величины Z(X, Y) Задачи 18. Числовые характеристики найти двумя методами: с помощью свойств числовых характеристик и по определению.

Пример решения задачи 20 Найти закон распределения случайной величины и ее числовые характеристики, если случайных величин X и Y, являются компонентами двумерной случайной величины Z(X, Y) Примере 18. Числовые характеристики найти двумя методами: с помощью свойств числовых характеристик и по определению.

Решение: Числовые характеристики компонент X и Y были найдены в примере 18 и записывались в виде:

    .

Математическое ожидание случайной величины V найдем, воспользовавшись свойствами математического ожидания:

.

Дисперсию случайной величины V также найдем, воспользовавшись свойствами дисперсии

и свойством корреляционного момента постоянные)

.

Дисперсия случайной величины V принимает значение:

,

или в более простой форме:

.

Для построения закона распределения случайной величины V=5X+Y учтем, что компоненты X, Y являются зависимыми случайными величинами и появления любой пары их значений, дающих в результате значение величины V, может происходить с вероятность , которая задается матрицей вероятности

двумерной случайной величины Z=(X,Y) Примера 18:

Z=(X,Y)	= -1	=0	=2
=10	0,1	0,1	0,05
=20	0,05	0,5	0
=30	0	0	0,2

Закон распределения случайной величины W=5X+Y имеет вид:

W	5	10	15	20	25	30	40
P(W)	0,1	0,1	0,05	0,55	0	0	0,2

Поясним на примере. Так значение может быть реализовано в испытании, только когда значение X=-1, а значение Y=10, вероятность их совместного появления соответствует вероятности P=0,1.

Поскольку значения W=25 и W=30 реализуются в испытаниях с вероятностью P=0, т.е. фактически не реализуются (невозможные события). Их можно исключить из закона распределения.

Закон распределения случайной величины V=5X+Y, таким образом, имеет вид:

W	5	10	15	20	40
P(w)	0,1	0,1	0,05	0,55	0,2

Найдем числовые характеристики случайной величины W, используя их определение и полученный закон распределения.

Математическое ожидание V:

.

Дисперсия W:

.

Как видим, оба способа вычисления числовых характеристик случайной величины V дают один и тот же результат.

Задача 21. Из 20-50 знакомых сверстников (ровесников, соучеников и прочих формальных или неформальных объединений, групп), образующих некоторую выборку, построить вариационный ряд для какого-либо параметра , характеризующего то или иное свойство рассматриваемого сообщества (вес, рост, свойства характера и т.д.). Считая, что этот параметр имеет нормальное распределение, оценить математическое ожидание соответствующей генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала и дисперсию этого распределения с надежность 0,95. Оценить вероятность, что наудачу выбранный член сообщества из генеральной совокупности имеет рассматриваемый параметр в интервале .

Пример решения задачи 21. В одной из учебных спортивных групп веса молодых людей в возрасте от 16 до 18 лет задаются таблицей

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Объем выборки N=35
Вес, x, кг	63	65	61	62	56	59	85	83	70	66
Частота, n	5	6	4	4	2	3	2	3	2	4

Считая, что параметр х имеет нормальное распределение, оценить математическое ожидание соответствующей генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала и дисперсию этого распределения с надежность 0,95. Оценить вероятность, что наудачу выбранный член сообщества из генеральной совокупности имеет рассматриваемый параметр в интервале .

Для рассматриваемой выборки найдем выборочную среднюю (математическое ожидание параметра х в заданной выборке)

.

Выборочная дисперсия вычисляется аналогично:

.

Исправленная дисперсия определяется как

. .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания генеральной совокупности с надежностью найдем с помощью таблицы коэффициентов , взятых из приложения 2, по формуле

.

Для значений находим из приложения 2: .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания генеральной совокупности с надежностью 0,95 в соответствии с приведенной формулой запишется в виде

,

или, окончательно:

.

Доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности найдем по формуле

,

где коэффициент берем из таблицы приложения 3: . Откуда имеет место неравенство.

.

Доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности с надежностью 0,95 окончательно записывается в виде:

.

Оценим вероятность, что наудачу выбранный член сообщества из генеральной совокупности имеет рассматриваемый вес в интервале . Возьмем в качестве параметров генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону значения , расположенные по середине доверительных интервалов. Плотность распределения случайной величины будет иметь вид

,

a искомая вероятность может быть найдена по формуле

Таким образом, подставляя значения параметров, находим

Из таблицы значений функции Лапласа, (см. Приложение 1), находим значение

,

Таким образом, имеет место оценка:

,

которая означает, что наудачу выбранный молодой человек из генеральной совокупности имеет вес от 62 кг до 100 кг с вероятностью 0,38.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Значения функции Лапласа .

x	Ф(x)	x	Ф(x)	Х	Ф(x)	х	Ф(x)
0,00	0,0000	0,45	0,1736	0,90	0,3159	1,35	0,4115
0,05	0,0199	0,50	0,1915	0,95	0,3289	1,40	0,4192
0,10	0,0398	0,55	0,2088	1,00	0,3413	1,45	0,4265
0,15	0,0596	0,60	0,2257	1,05	0,3531	1,50	0,4332
0,20	0,0793	0,65	0,2422	1,10	0,3643	1,55	0,4394
0,25	0,0987	0,70	0,2580	1,15	0,3749	1,60	0,4452
0,30	0,1179	0,75	0,2734	1,20	0,3849	1,65	0,4505
0,35	0,1368	0,80	0,2881	1,25	0,3944	1,70	0,4554
0,40	0,1554	0,85	0,3023	1,30	9,4032	1,75	0,4599
1,80	0,4641	2,00	0,4772	2,40	0,4918	2,80	0,4974
1,85	0,4678	2,10	0,4821	2,50	0,4938	2,90	0,4981
1,90	0,4713	2,20	0,4861	2,60	0,4953	3,00	0,49865
1,95	0,4744	2,30	0,4893	2,70	0,4965	4,00	0,499968
1,99	0,4767	2,38	0,4913	2,78	0,4973	-	-