3. Найдем условные законы распределения компоненты y при фиксированных значениях компоненты X:

Табл. 3  

Y,		Значения взяты из первого столбца заданного закона распределения Z(X, Y), а сумма по столбцу
=10
=20
=30

Сразу найдем условное математическое ожидание Y при :

.

Табл. 4  

Y,		Значения взяты из второго столбца заданного закона распределения Z(X, Y), а сумма по столбцу
=10
=20
=30

Найдем условное математическое ожидание Y при :

.

Табл. 5  

Y,		Значения взяты из второго столбца заданного закона распределения Z(X, Y), а сумма по столбцу
=10
=20
=30

Найдем условное математическое ожидание Y при :

.

Тот факт, что таблицы 3, 4, 5 не совпадаю друг с другом еще раз свидетельствуют о зависимости случайных величин друг от друга.

4. Найдем регрессию Y на X . Для этого построим график зависимости среднего значения y при фиксированном значении x, т.е. график зависимости условного математического ожидания от :

График регрессии Y на Х

30

20

10

-1 0 1 2 x

5. Найдем коэффициент корреляции случайных величин Y и X:

Коэффициент корреляции определяется как

,

где корреляционный момент может быть найден по формуле

.

Найдем сначала среднее значение произведения компонент X и Y:

воспользовавшись матрицей вероятностей заданного закона распределения двумерной случайной величины Z(X, Y)). Тогда коэффициент корреляции будет равен

,

откуда для коэффициента корреляции получаем значение

.

Таким образом, между случайными величинами X и Y имеется достаточно тесная корреляционная связь. Как известно, теснота корреляционной связи определяется тем, насколько коэффициент корреляции отличается по модулю от единицы. Сам же коэффициент корреляции обладает свойством

.

Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем тесней корреляционная связь компонент X и Y.

Задача 19.  Для двумерной случайной величины Z(X, Y) Задачи 18 найти уравнение линейной регрессии Y на Х. График этой регрессии построить в тех же осях и на том же рисунке, что и график самой регрессии Y на Х, построенный в Задаче 18. Сравнить эти графики.

Пример решения задачи 19.  Для двумерной случайной величины Z(X, Y) Примера решения задачи 18 найти уравнение линейной регрессии Y на Х. График этой регрессии построить в тех же осях, что и график самой регрессии Y на Х, построенный в Задаче 18. Сравнить эти графики.

Решение: График линейной регрессии Y на X представляет собой тенденцию изменения среднего значения величины Y при фиксированном значении X от этого значения X. Более детальная информацию об этой зависимости при этом теряется. Уравнение линейной регрессии Y на X, которую будем обозначать , имеет вид:

,

и представляет собой канонический вид уравнения прямой на плоскости , здесь математические ожидания компонент X и Y, соответственно;

их средние квадратические отклонения;

коэффициент корреляции компонент.

При решении Примера18 все эти параметры были найдены:

;      ;     .

Подставляя их в уравнение линейной регрессии, запишем его в форме

,

из которой следует, что прямая, проходя через точку A(0,35;  19,5), имеет направляющий вектор