Случайные величины

Определение дискретной случайной величины. Дискретной случайной величиной называется величина, принимающая в результате испытания дискретные значения , каждое из которых является случайным событием. Как следствие .

Задача 14*. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания. Вероятность попасть в корзину при каждом броске считать постоянной и равной N/(N+5). Найти закон распределения случайной величины числа бросков. Найти математическое ожидание числа бросков. (Воспользоваться методом интегрирования степенных рядов. См задачу 15 Задания Интегрирование).

Пример решения задачи 14*. Футболист бьет мяч по воротам до первого попадания. Вероятность забить гол при каждом ударе постоянна и равна 0,2. Найти закон распределения случайной величины – числа выполненных ударов. Найти математическое ожидание числа выполненных ударов.

Решение: Введем систему элементарных несовместных случайных событий:

футболист забивает мяч при k-ом ударе;

футболист не забивает мяч при k-ом ударе.

Тогда значения случайной величины , представляющие собой случайные события- возможное число ударов мяча (индекс соответствует числу выполненных ударов) можно выразить через элементарные события в виде

Вероятности этих значений случайной величины находим по формуле вероятности произведения несовместных случайных событий

.

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

				…			.  .  .
				…			. . .

Найдем математическое ожидание случайной величины :

      

Здесь сумма ряда, стоящего в скобках обозначена как .

. (1)

Для нахождения суммы числового ряда (1) сначала вместо 0,8 поставим значение x, тогда получается степенной ряд (2):

(2)

при этом очевидно равенство

. (3)

Сравним ряд (2) с известным сходящимся рядом (4)

(4)

который представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем .

Проинтегрируем почленно ряд (2) по области его сходимости

и после интегрирования получаем

. (5)

Сравнивая полученный результат с формулой (4), получаем равенство

.        (6)

Полученное равенство представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции , которую легко можно найти, продифференцировав равенство:

,

откуда получаем необходимое значение и значение в соответствии с (3):

.

Таким образом, искомое математическое ожидание случайной величины может быть найдено

.

И, следовательно, по смыслу математического ожидания, в среднем наш футболист для попадания в ворота должен сделать пять попыток.

Убедимся теперь, что найденный выше закон распределения случайной величины удовлетворяет основному своему свойству

. (7)

Действительно, имеем равенство  

,

что и доказывает выполнимость указанного свойства. Здесь была использована формула (4) для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Задача 15. Группа из 30 студентов сдала экзамен. Для случайной величины X– полученной на экзамене оценки наудачу выбранным студентом, имеет место закон распределения (N- номер варианта)

Х	ОТЛ	ХОР	УДОВЛ.	НЕУД.
Р	N/(N+20)	0,1N/(N+20)	1 - 1,2N/(N+20)	0,1N/(N+20)

Найти, округляя, a) число студентов, получивших те или иные оценки; б) средний балл на экзамене; с) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Пример решения задачи 15. В группе из 100 человек для случайной величины X–цвет волос наудачу выбранного человека, имеет место закон распределения

Х	Белый - 1	Желтый - 2	Коричневый - 3		Черный - 4
Р	0,3	0,2		0,4	0,1

Найти, округляя, a) число человек с тем или иным цветом волос; б)в среднем каков цвет волос у членов группы?; с) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение: а) По смыслу вероятности, распределение людей по цвету волос представим таблицей

Х	Белый - 1	Желтый - 2	Коричневый - 3		Черный - 4
Р	30	20		40	10

б) В среднем цвет волос характеризуется математическим ожиданием случайной величины X:

.

Другими словами «средний» цвет волос – чуть темнее желтого.

с) Дисперсию найдем по упрощенной формуле, учитывая, что математическое ожидание случайной величины уже найдено

Найдем среднее значение квадрата случайной величины

Подставляя найденное значение в формулу для дисперсии, окончательно получаем

Определение непрерывной случайной величины. Непрерывной случайной величиной называется величина, принимающая в результате испытания свои значения из заданного интервала . Вероятность, что значения попадают в бесконечно малый интервал шириной в окрестности точки , определяется плотностью вероятности и имеет вид .

Вероятность же попасть в конечный интервал тогда можно представить как Функция называется плотностью распределения случайной величины.

Имеет место условие нормировки вероятности на единицу: . Границы интервала могут принимать и бесконечные значения.

Вероятность попасть в конечный интервал может быть найдена и с помощью функции распределения как где

Задача 16. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения где - номер варианта, найти:

1. нормировочную постоянную

2. функцию распределения

3. построить графики плотности и функции распределения

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

5. вероятность попадания случайной величины Х в интервал

Пример решения задачи 16. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения найти:

1. нормировочную постоянную

2. функцию распределения

3. Построить графики плотности и функции распределения;

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

5. вероятность попадания случайной величины Х в интервал -

Решение:

a) Для нахождения нормировочной постоянной A нужно воспользоваться условием нормировки вероятности на единицу, что соответствует площади по кривой , равной единице. Таким образом, имеем равенство

Таким образом нормировочная постоянная

При этом плотность распределения оказывается равной

.

b) По определению функцией распределения называется величина

,

и поскольку плотность распределения является кусочной функцией, состоящей из четырех участков , для каждого участка найдем значение функции распределения:

1)Так для первого участка функция распределения равна:

. (8)

2) Для второго участка функция распределения равна:

. (9)

3) Для третьего участка функция распределения равна:

. (10)

4) И, наконец, для четвертого участка функция распределения равна:

. (11)

С учетом выражений (8-11) функция распределения окончательно может быть записаны в виде кусочной функции

c) Построим графики плотности и функции распределения

f(x) График плотности распределения

1

0,5

-1 2 х

F(x) График функции распределения

1

0,5

-1 2 х

d) Найдем математическое ожидание случайной величины Х;

Для непрерывной случайной величины, какой и является величинв X,

математическое ожидание находим, используя ее определение:

Найдем дисперсию случайной величины Х. Несмотря на то, что случайная величина X является непрерывной величиной формула для дисперсии остается прежней:

Найдем среднее значение квадрата случайной величины, теперь с учетом непрерывности случайной величины, используем формулу

Теперь окончательно получаем значение дисперсии случайной величины

e)  Находим вероятность попадания случайной величины Х в интервал Эта вероятнось равна площади под кривой плотности распределения на интервале Таким образом, находим

                  

Задача 17. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей функцию распределения ,

где номер варианта, найти:

a) нормировочную постоянную ;

b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал       .

с) плотность распределения ;

d) построить графики функций

e) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

Пример решения задачи 17. Для непрерывной случайной величины Х, имеющей функцию распределения ,

найти:

a) нормировочную постоянную ;

b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал

c) .плотность распределения ;

d) построить графики функций

е) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение:

1. Для нахождения нормировочной постоянной A воспользуемся свойством функции распределения

,

откуда необходимо положить

     

Таким образом, функция распределения приобретает окончательный вид

2. Найдем вероятность попадания случайной величины Х в интервал   . Используя свойство функции распределения можно непосредственно, без использования интегрирования, найти указанную вероятность. Действительно, отмеченное свойство представляет собой

Таким для искомой вероятности получаем значение:

c). Для нахождения плотности распределения воспользуемся свойством функции распределения , связывающим обе функции:

тогда, дифференцируя каждую ветвь функции распределения , получаем плотность распределения:

d ) построим графики функций

График функции распределения

F(x)

1

0,5

х

f(x) График плотности распределения

1

х

e) Математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х может быть найдена как и в предыдущем примере с помощью плотности распределения непрерывной случайной величины X

.

Интеграл может быть вычислен методом интегрирования по частям в соответствии с формулой

:

То, что математическое ожидание (среднее значение случайной величины) равно можно было ожидать исходя из рисунка плотности распределения .

Дисперсию X будем опять находить по формуле

Среднее значение квадрата случайной величины найдем отдельно:

.

Интеграл вычисляется двукратным интегрированием по частям:

Подставляя найденную величину, получаем окончательно значение дисперсии случайной величины X:

• Дискретные двумерные случайные величины

Двумерная случайная величина задается своим законом распределения

.

Каждая их компонент имеет свой закон распределения

,

.

со своими числовыми характеристиками -, -математическими ожиланиями, -дисперсиями, -среднеквадратическими отклонениями

;

.

Если компоненты независимы, то

.

Для зависимых компонент имеет место равенство

,

где условный закон распределения при условии можно представить как

, .

Аналогично для условного закона распределения при условии получаем

,

, .

Корреляционный момент двумерной случайной величины определяется как

.

Коэффициент корреляции определяется как

.

Регрессией на называется функция условное математическое ожидание при условии .

Уравнение линейной регрессии на можно представить в виде

определяет лишь «тенденцию» поведения регрессии на .

Задача 18. Для заданной двумерной случайной величины (X,Y) найти:

1. законы распределения компонент и их числовые характеристики;

2. выяснить, зависят ли друг от друга компоненты Х и Y.

3. условные законы распределения ;

4. регрессию Y на X ;

5. коэффициент корреляции;

18.1

(X,Y)	=1	=4	=5
=-1	0,15	0,2	0,15
=0	0,05	0,1	0,05
=2	0,1	0	0,2

18.2

(X,Y)	=-10	=-30
=5	0,125	0,05
=8	0,1	0,025
=12	0,15	0,2
=16	0,25	0,1

18.3

(X,Y)	=2	=4	=6	=8
=1	0,1	0,15	0,25	0,05
=3	0,05	0	0,05	0
=5	0	0,1	0,15	0,1

18.4

(X,Y)	=-1	=-2	=-4
=3	0,15	0,1	0,15
=6	0,05	0,1	0,125
=9	0,15	0,1	0,125

18.5

(X,Y)	=1	=10	=20	=50
=2	0,15	0,05	0,15	0
=4	0,1	0,15	0,2	0,2

18.6

(X,Y)	=1	=2	=3	=4
=-10	0,2	0,1	0,05	0,05
=-20	0,15	0,05	0,3	0,1

18.7

(X,Y)	=1	=2	=3	=4
=10	0,15	0,25	0,05	0,15
=20	0,1	0,15	0,05	0,1

18.8

(X,Y)	=-2	=1	=4
=0	0,03	0,06	0,21
=3	0,01	0,02	0,07
=5	0,06	0,12	0,42

18.9

(X,Y)	=-1	=0	=1
=2	0,08	0,18	0,08
=4	0,12	0,42	0,12

18.10

(X,Y)
	0,04	0,01	0,01	0,04
	0,06	0,1	0,1	0,06
	0,04	0,25	0,25	0,04

Пример решения задачи 18. Для заданной двумерной случайной величины Z=(X,Y)

Z=(X,Y)	= -1	=0	=2
=10	0,1	0,1	0,05
=20	0,05	0,5	0
=30	0	0	0,2

найти:

1. законы распределения компонент и их числовые характеристики;

2. выяснить, зависят ли друг от друга компоненты Х и Y.

3. условные законы распределения ;

4. регрессию Y на X ;

5. коэффициент корреляции;

Решение:

a) Найдем законы распределения компонент:

Закон распределения компоненты Х получаем суммированием вероятностей по столбцам:

Табл.1

X ,	= -1	=0	=2
P(X),	0,15	0,60	0,25

Сразу найдем числовые характеристики компоненты Х:

Математическое ожидание X: .

Дисперсия Х: .

Среднее квадратическое отклонение: .

Закон распределения компоненты Y получаем суммированием вероятностей двумерной случайной величины Z=(X, Y) по строкам:

Табл.2

Y,	P(Y),
=10	0,25
=20	0,55
=30	0,20

Убеждаемся, что сумма вероятностей равна единице, как и должно быть для дискретных законов распределения.

Найдем числовые характеристики компоненты Y:

Математическое ожидание Y: .

Дисперсия Y: .

Среднее квадратическое отклонение: .

2. Выясним, зависят ли друг от друга компоненты Х и Y. Предположим, что компоненты не зависят друг от друга, тогда вероятность значения двумерной случайной величины должна являться произведение соответствующих вероятностей компонент, т.е.

,

в этом случае закон распределения двумерной случайной величины

должен бы иметь вид (используем Табл. 1, и Табл.2)

Закон распределения

	= -1	=0	=2
=10
=20
=30

Сравнивая полученный закон распределения величины с заданным в условии примера законом распределения , убеждаемся в их различии, следовательно, наше предположение о независимости компонент X и Y не верно и компоненты X и Y являются зависимыми случайными величинами.